La formula di Ferrari per le quartiche.
Sempre nell’Ars Magna, Cardano scrive che la formula risolutiva delle equazioni di quarto grado “era dovuta a Ludovico Ferrari, che l’ha scoperta dietro mia richiesta”. Il procedimento attraverso cui si giungeva alla soluzione dell’equazione x4+px2+q=sx può essere sintetizzato in sei passaggi. Ad esempio, volendo risolvere l’equazione x4+4x2+36=60x si procede in questo modo:
1) si aggiunge ad entrambi i membri un termine in x2 in modo da rendere il primo membro un quadrato perfetto, nel nostro caso si aggiunge 8x2, così che si ha (x2+6)2;
2) si aggiunge in entrambi i membri una nuova incognita in modo che il primo membro rimanga un quadrato, per noi (x2+6+y)2=60x+8x2+y2+12y+2x2y ;
3) si ottiene, al secondo membro, ordinando secondo la x, un’equazione di secondo grado che vogliamo che sia un quadrato perfetto: a tal scopo basta uguagliare a zero il discriminante;
4) l’equazione ottenuta dal discriminante è un’equazione di terzo grado nota come la risolvente di Ferrari, risolta tramite la formula risolutiva delle equazioni cubiche;
5) il valore della y trovato si sostituisce nell’equazione di cui al punto 2 e si estrae la radice quadrata di entrambi i membri;
6) il risultato del quinto passaggio rappresenta un’equazione di secondo grado, facilmente risolvibile.