Il metodo dell’equilibrio di Archimede.
Della breve opera Il Metodo di
Archimede (287-212 a.C.) si erano perdute le tracce a partire dai primi secoli
dell’Era cristiana, fino alla sua riscoperta avvenuta nel 1906. Dall’insieme
dell’opera e in particolare dall’Introduzione si ricava il metodo meccanico: esso risulta dalla felice combinazione di
ragionamenti meccanici e di
ragionamenti infinitesimali, ed è utile tanto per la determinazione di centri
di gravità che per quadrature e le cubature delle figure piane.
Nei suoi tratti
essenziali lo schema del nuovo metodo è il seguente: ogni figura si considera
composta di elementi infinitesimali, che sono linee rette nel caso di figure
piane e superfici nel caso di solidi. In ogni figura il numero degli elementi è
infinito, ma Archimede dice soltanto che ogni figura è composta
o riempita da tutti i suoi elementi. Il risultato di ciò che appariva
riducibile, nel linguaggio moderno, ad una integrazione, e cioè il calcolo di
un’area o di un volume, veniva ricondotto all’esistenza di un punto
di equilibrio della massa geometrica. Se si ripensa, ad esempio, al calcolo
archimedeo dell’area di un segmento parabolico, tutto qui viene ricondotto
all’esistenza di un centro di equilibrio tra un triangolo e detto segmento
trasferito in una regione opportuna del piano. Questo centro di gravità, capace
di annullare, se sostenuto, gli sbilanciamenti provocati dal peso, esercita il
suo potere di equilibrio sulla infinità dei segmenti rettilinei di cui si può
immaginare “composto” rispettivamente il triangolo ed il segmento
parabolico. Per questa funzione equilibratrice procede, da un punto, il
bilanciamento di due aree, e, in ultima istanza, la scoperta di una perfetta
armonia di rapporto tra l’area del segmento parabolico e l’area del
triangolo inscritto: l’uno è i 4/3 dell’altro.
Infatti Archimede
immaginava le aree del segmento parabolico ABC e del triangolo AFC, con FC
tangente alla parabola in C, composte da una infinità di parallele al diametro
QB della parabola.
Essendo KC = HK, un segmento rettilineo uguale a OP posto in H farebbe equilibrio al segmento OM , essendo K il fulcro, da cui l’area della parabola, posta in H, farà equilibrio al triangolo il cui centro di gravità è posto sulla linea KC ad un terzo della distanza da K a C. Pertanto l’area del segmento parabolico è 1/3 dell’area del triangolo AFC o 4/3 dell’area del triangolo ABC.