Felix
Klein (1849-1925)
rimase profondamente colpito dalle possibilità unificatrici offerte dal
concetto di gruppo, tanto che, nel 1872, in un celebre discorso inaugurale in
occasione della nomina a professore, mostrò come questo concetto potesse essere
impiegato quale mezzo per caratterizzare le varie geometrie che erano comparse
nel corso del secolo.
Infatti,
Klein descrisse la geometria come lo studio delle proprietà delle figure
invarianti rispetto ad un particolare “gruppo” di trasformazioni.
Ad esempio la
geometria euclidea del piano è lo studio delle proprietà delle figure
(comprese aree e lunghezze) invarianti rispetto al gruppo delle traslazioni e
delle rotazioni, le cosiddette trasformazioni “rigide” di equazioni
dove
ae-bd=1.
Se si generalizza la
condizione suddetta, cioè se ae-bd
0,
le nuove trasformazioni formano anch’esse un gruppo che caratterizzano la
cosiddetta geometria affine, detta così perché un punto finito si
trasforma in un altro punto finito e secondo cui le lunghezze e le aree non
rimangono necessariamente invariate, ma una conica di un dato tipo (parabola,
ellisse, iperbole) resterà dello stesso tipo.
E’ chiaro, allora, che la geometria euclidea è un caso particolare della geometria affine, così come la geometria affine è un caso particolare della geometria proiettiva, caratterizzata dalle trasformazioni seguenti:
e
dalle seguenti proprietà: a) una conica viene trasformata in un’altra conica;
b) il birapporto rimane invariante.
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