La costruzione delle tavole di corde ad opera di Tolomeo

            L’opera trigonometrica più influente e significativa dell’antichità è la Sintassi Matematica di Tolomeo di Alessandria (presumibilmente nato alla fine del I secolo), nota però come l’Almagesto, che vuol dire “il più grande”, per l’abitudine  data da altri autori (tra cui Aristarco) a chiamare l’opera con l’aggettivo megiste (maggiore).
            In quest’opera sono presenti  tavole trigonometriche (dette tavole di corde), per la cui costruzione un ruolo importante ha avuto quel teorema che oggi è noto proprio come il “teorema di Tolomeo”: “In un quadrilatero convesso inscritto in un cerchio la somma dei prodotti dei lati opposti è uguale al prodotto delle diagonali”, che ha per conseguenze le famose formule di addizione e sottrazione per la funzione seno e per la funzione coseno.
            Tolomeo è stato il primo ad associare valori numerici a corde: per far ciò adottò  qualche schema per suddividere la circonferenza e qualche regola per suddividere il diametro. Infatti la suddivisione della circonferenza era già nota ai greci e sembra essere stata tratta da considerazioni astronomiche, per cui i gradi venivano divisi in 60 partes minutae primae, ciascuna di queste in 60 partes minutae secundae, e così via. Veniva allora naturale dividere il diametro in 120 parti, ciascuna parte in 60 minuti e ciascun minuto in 60 secondi.
            Una volta stabilito il sistema di misurazione si potevano calcolare le corde sottese dagli angoli. Infatti, poiché il raggio del cerchio conteneva 60 parti, la corda di un arco di 60 gradi conteneva anch’essa 60 parti lineari. Di conseguenza la corda di 120° diventa di 60  3, cioè composta, approssimativamente, da 103 parti, 55 minuti e 33 secondi.
            Per calcolare le corde di 36° e 72° Tolomeo fece ricorso ad un teorema contenuto negli Elementi di Euclide, secondo cui il lato di un pentagono regolare, il lato di un esagono regolare e il lato di un decagono regolare, tutti inscritti nella medesima circonferenza, costituiscono i lati di un triangolo rettangolo. Quindi, sfruttando il teorema di Pitagora e le proprietà del pentagono e della sezione aurea, si trovò, ad esempio, che la corda di 36° è 30( 5 – 1).
            Allora, conoscendo in un cerchio la corda di un arco di r gradi, Tolomeo, sfruttando i teoremi di Talete e di Pitagora, riusciva a calcolare la corda dell’arco 180°- r: poi, tramite le formule oggi dette di bisezione derivava le corde di archi sempre più piccoli, fino a giungere a dire che sin15’=0,00873 che è corretto fino “quasi” alla sesta cifra decimale.
            Inoltre attraverso il calcolo di corde Tolomeo riuscì a trovare una “buona” approssimazione di p: infatti il valore della corda di (½)° corrisponde alla lunghezza di un poligono di 720 lati inscritto in un cerchio di raggio 60 unità, per cui p risulta essere circa uguale a 377/120 che corrisponde al numero decimale 3,1416. 

Torna