La definizione di uguaglianza di rapporti di Eudosso
La scoperta delle grandezze incommensurabili aveva provocato un vero e
proprio “scandalo logico”, nel senso che aveva reso inaccettabili teoremi
che implicavano proporzioni poiché sorgeva il “dilemma” di confrontare due
grandezze incommensurabili. Ebbene
Eudosso
di Cnido
(408-355 a.C. circa)
diede una nuova definizione di rapporti
uguali che venne accettata universalmente: il modo come l’abbia fatto è
ancora sconosciuto.
Era noto che quattro
quantità sono in proporzione (a:b=c:d) se nei due rapporti a:b
e c:d la quantità più
piccola può essere sottratta dalla quantità più grande lo stesso numero
intero di volte, e il resto (per ciascun rapporto) può essere sottratto dalla
quantità più piccola lo stesso numero intero di volte, e così via. Questa
definizione risultava evidentemente “scomoda” da usare.
Il notevole salto
logico affrontato da Eudosso è facilmente messo in luce dalla famosa sua
formulazione, espressa da Euclide nella definizione 5 del quinto libro degli Elementi:
Si dice che delle grandezze sono nello stesso rapporto, la prima con la
seconda e la terza con la quarta, quando, se si prendono equimultipli qualsiasi
della prima e della terza, ed equimultipli della seconda e della quarta, i primi
equimultipli superano ugualmente, o sono uguali, o sono ugualmente inferiori ai
secondi multipli presi in ordine corrispondente.
Proposizione che
possiamo così tradurre: a/b = c/d se
e solo se, dati m ed n interi, se ma<nb
allora mc<nd; oppure se ma=nb allora
mc=nd; oppure
se ma>nb
allora mc>nd.
Se leggiamo
attentamente tale definizione, osserviamo che essa non è niente altro che lo
sviluppo di una proporzione così come noi oggi lo facciamo:
se a:b=c:d vuol dire che
ad=bc.
Inoltre la
definizione di Eudosso non si allontana molto dalla definizione di numero reale
come elemento separatore, in quanto essa separa la classe dei numeri razionali m/n
in due categorie a seconda che ma³nb
oppure ma<nb.
La “scoperta” di
Eudosso è stata grandissima ma ricadeva, ancora una volta, in quel concetto che
tanto i greci volevano evitare: l’infinito.