La scoperta degli irrazionali
Indubbiamente legata al teorema di Pitagora è la scoperta delle quantità irrazionali perché il più classico esempio di
numero
irrazionale è proprio il rapporto tra la diagonale ed il lato di un quadrato.
Non si conosce
esattamente quando e come sia stata fatta tale scoperta, ma l’ipotesi più
plausibile è quella secondo cui essa risalga a pitagorici posteriori e si
collochi su una data imprecisata anteriore al 410 a.C.; altri studiosi la
attribuiscono a Ipparco di Metaponto (circa ultimo quarto del V sec. a.C.),
mentre altri la posticipano di mezzo secolo.
La dimostrazione
pervenutaci è quella di Aristotele e fa riferimento alla distinzione tra numeri
pari e numeri dispari. Siano d ed l la diagonale ed il
lato di un quadrato e supponiamo che siano commensurabili, ossia che il loro
rapporto d/l sia un numero razionale m/n,
con m ed n numeri reali privi
di fattori comuni. Per il teorema di Pitagora
si ha che d2
= l2+l2
ossia (d/l)2
= 2, ma d/l = m/n, per cui (m/n)2=
2, cioè m2=
2n2. Pertanto
m2 è pari
e quindi m è pari. Se poniamo m
= 2p si ha che 4p2
= 2n2 da
cui otteniamo che anche n dovrebbe
essere pari contro l’ipotesi che m
ed n non avessero fattori in comune. Ne segue che l’ipotesi della
commensurabilità tra diagonale e lato di un quadrato è falsa.
La stessa
dimostrazione si può riportare per dimostrare l’irrazionalità di Ö3,
Ö5,
ecc. e sembra che di essa se ne servì, più tardi, un maestro di Platone,
Teodoro di Cirene, per dimostrare l’assurdità di supporre razionali tutte le
quantità del suddetto tipo fino a Ö17,
ovviamente escludendo Ö4,
Ö9,
Ö16.