William
Rowan Hamilton (1805-1865)
compì i suoi studi al Trinity College di Dublino, dove, all’età di ventidue
anni (ancora studente!!), fu nominato Astronomo reale d’Irlanda, Direttore
dell’Osservatorio di Dunsink e Professore di Astronomia. Egli era convinto che
così come la geometria è la scienza del solo spazio, analogamente l’algebra
deve essere la scienza del tempo puro.
Nel 1833
presentò una memoria all’Accademia Irlandese nella quale introduceva
un’algebra formale di coppie di numeri reali le cui regole di composizione
sono esattamente quelle che usiamo oggi per le operazione con i numeri
complessi. In particolare la regola della moltiplicazione può essere scritta
come: (a, b) (c, d) = (ac-bd, ad+bc)
Lo scienziato
tentò di estendere la sua idea allo spazio tridimensionale, passando, cioè, da
a+bi a terne del tipo a+bi+cj. In tale ottica
l’operazione di addizione non presentava difficoltà, ma quella di
moltiplicazione sì! Così un giorno del 1843, mentre passeggiava con la moglie
lungo il Royal Canal, ebbe un’ispirazione: tutte le difficoltà sarebbero
svanite se invece di terne si fossero usate quaterne (quaternioni) e se
si fosse abbandonata la proprietà commutativa della moltiplicazione. Era già
noto che, nel caso di quaterne del tipo a+bi+cj+dk, si
doveva assumere i2=j2=k2=
-1; a questo Hamilton aggiunse ij=k, ji=-k, jk=i=-kj
e ki=j=-ik. Per gli altri aspetti le regole di operazione
erano identiche a quelle
dell’algebra ordinaria. Hamilton, allora, si arrestò nella sua passeggiata e
con un coltello incise la formula fondamentale i2=j2=k2=ijk
su una pietra del Brougham Bridge.
Hamilton
“creò” così una nuova algebra, abbandonando il postulato della legge
commutativa del prodotto: il significato profondo è proprio in questo, la
“libertà” di cui gode la matematica nella costruzione di algebre non
necessariamente soggette alle cosiddette “leggi fondamentali”.
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