A
nessun matematico spetta il merito di aver introdotto l’idea di gruppo,
ma colui che maggiormente ci lavorò ed a cui si deve il nome è Evariste
Galois , morto tragicamente nel 1832 all’età di vent’anni.
Le ricerche
di Galois furono incentrate sulla determinazione dei casi in cui le equazioni
polinomie fossero risolvibili tramite radicali. Gauss aveva già risolto la
questione della risolubilità dell’equazione
a0xn + an = 0 in termini di operazioni
razionali ed estrazioni di radici quadrate; Galois generalizzò il risultato ad
un’equazione del tipo a0xn
+ a1xn-1 + … + an-1x + an =
0 , naturalmente coinvolgendo l’estrazione di radici n-sime.
Il matematico
francese partì da alcuni lavori di Lagrange sulle permutazioni delle radici di
un’equazione polinomia, che sappiamo soddisfare le proprietà: a) l’insieme
degli elementi è chiuso rispetto all’operazione; b) l’insieme contiene un
elemento di identità rispetto all’operazione; c) per ogni elemento
dell’insieme esiste un elemento inverso rispetto all’operazione; d)
l’operazione è associativa. Allora l’insieme di tutte le permutazioni
costituisce un “gruppo”, e se questi elementi sono le radici di
un’equazione irriducibile, le proprietà del gruppo simmetrico forniscono le
condizioni necessarie e sufficienti perché l’equazione sia risolvibile
mediante radicali.
Galois scoprì
che un’equazione algebrica irriducibile è risolvibile mediante radicali se e
solo se il suo gruppo (gruppo simmetrico delle radici) è risolvibile.
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