Il teorema fondamentale del calcolo
Nel 1629 Pierre de Fermat giunse a formulare un teorema concernente l’area compresa da curve del tipo y=xm, teorema poi pubblicato nel 1635 e nel 1647 ad opera di Cavalieri. Per trovare l’area compresa dalla suddetta curva nell’intervallo compreso tra x=0 e x=a, Fermat suddivideva l’intervallo in un numero infinito di sottointervalli prendendo i punti di ascisse a, ae, ae2, ae3,…, con “e” quantità minore di 1. Da questi punti tracciava le ordinate alla curva ottenendo un’approssimazione dell’area compresa sotto la curva per mezzo di rettangoli.
Man mano
che i rettangoli diventavano più sottili la somma delle aree dei rettangoli si
avvicinava all’area richiesta.
Tale procedimento era applicabile sia per m intero che per m frazionario, mentre
perdeva di significato per m=-1. Tuttavia un matematico fiammingo Gregorio di San Vincenzo (1584-1667) risolse il problema,
nell’opera Opus geometricum del 1647, mostrando che se lungo l’asse x
si segnava, a partire da x=a, una serie di punti in modo che gli intervalli
compresi tra essi crescessero in proporzione geometrica, e se da questi punti si
tracciavano le ordinate all’iperbole xy=1, allora le aree delimitate dalla
curva e dalle ordinate successive erano uguali. Ciò equivaleva a dire che
Comunque dobbiamo arrivare fino al 1670 per l’intuizione di quello che
oggi chiamiamo il teorema fondamentale del calcolo, cioè la reciprocità delle
operazioni di derivazione e di integrazione. Infatti il matematico Isaac Barrow (1630-1677), nell’opera Lectiones geometricae
del 1670, spiega un metodo delle tangenti che era molto simile a quello usato da
Fermat, ma che “scomodava” due quantità equivalenti alle odierne Dx e Dy. Con questo metodo si stabilì
una correlazione tra rette tangenti alle curve in studio ed aree di regioni di
piano da esse limitate, cioè proprio il legame sopra citato.
Il
procedimento di Barrow, in termini moderni, può essere così espresso. Si
disegnano due sistemi di riferimento cartesiani aventi in comune l’origine e
l’asse delle ascisse e con gli assi delle ordinate orientati in modo opposto,
ed in essi due funzioni, y=f(x) nel sistema orientato verso il basso e y=F(x) in
quello orientato verso l’alto. La funzione F (x) è tale che in ogni punto x0
il valore F(x0) è uguale all’area della regione limitata dagli
assi cartesiani, dalla funzione y=f(x) e dalla retta di equazione x=x0.
Barrow dimostrò che vi è un duplice legame tra le due funzioni: partendo dal
diagramma di f(x) si può costruire quello di F(x) tramite il calcolo delle aree
dei trapezoidi relativi ad f(x), mentre partendo dal grafico di F(x) si può,
tramite il calcolo dei coefficienti angolari delle tangenti (derivate) nei punti
assegnati, disegnare quello di f(x).
Mancava però ancora una
sistemazione rigorosa a tutto ciò: fu compiuta, in modo indipendente l’uno
dall’altro, da Newton (1642-1727) e
da Leibniz (1646-1716) ai quali si
attribuisce la paternità del calcolo infinitesimale.