Nel celebre trattato “Discorso sul metodo per ragionare bene e cercare la verità nelle scienze” (1637), Cartesio annunciava il suo “programma” di ricerca filosofica: attraverso il dubbio sistematico si possono raggiungere le idee chiare e distinte da cui è possibile dedurre moltissime conclusioni valide. Applicando detto metodo alla scienza, si ottiene un universo costituito da materia in continuo movimento, e tale che ogni fenomeno può essere spiegato tramite le leggi della meccanica.
Dal punto di vista matematico, fondamentale fu per Cartesio il lungo e freddo inverno del 1619 trascorso a seguito dell’esercito bavarese: il matematico era solito rimanere a letto fino a metà mattinata per risolvere o formulare problemi matematici. Proprio in questo lasso di tempo Cartesio scopre la formula per i poliedri (oggi detta formula di Eulero), secondo cui la somma dei vertici e delle facce di un poliedro convesso è uguale al numero degli spigoli aumentato di 2. E, in una lettera del 1628 indirizzata ad un amico, vi è la regola per la costruzione delle radici di una qualsiasi equazione di terzo o quarto grado tramite l’equazione della parabola.
Non è noto se nel 1628 Cartesio avesse già elaborato in modo completo la sua geometria analitica, ma sicuramente lo fece poco più tardi. Infatti nel trattato La géométrie (una delle tre appendici al Discorso) sono contenuti tutti i principi della geometria analitica, anche se, è da precisare, la geometria cartesiana aveva come intento una “costruzione geometrica” (le prime righe del La géométrie sono: “Tutti i problemi della geometria si possono facilmente ridurre a tali termini, che in seguito per costruirli basta conoscere la lunghezza di alcune rette”) e non il ricondurre la geometria all’algebra.
Comunque Cartesio usava sistematicamente l’algebra simbolica e sviluppava la sua interpretazione geometrica dell’algebra, cosicché possiamo dire che egli da un lato voleva “liberare” la geometria dal ricorso a figure (tramite i procedimenti dell’algebra), e dall’altro dare un significato alle operazioni algebriche mediante un’interpretazione geometrica. Allora il procedimento seguito da Cartesio lo possiamo così sintetizzare: si parte da un problema geometrico, lo si traduce in linguaggio algebrico (equazione) e, dopo avere opportunamente semplificato l’equazione ad esso associata, si risolve tale equazione geometricamente. Questo è il metodo che Cartesio seguì nello studio del problema di Pappo del luogo geometrico relativo a tre o più rette, studio da cui nacque la classificazione dei problemi geometrici determinati.
Inoltre è da sottolineare che nell’opera più volte citata non si fa uso sistematico di coordinate ortogonali, ma si usano, indifferentemente, anche coordinate oblique; non troviamo alcuna formula per la distanza o per l’angolo formato da due rette, come non troviamo il grafico di alcuna curva “nuova” tracciato a partire dall’equazione. Delle coordinate negative Cartesio conosceva soltanto che erano orientate in senso inverso rispetto a quelle positive e il principio fondamentale della geometria analitica (quello secondo cui le equazioni indeterminate in due incognite corrispondono a luoghi geometrici) compare soltanto nel secondo libro.
Ciò nulla toglie all’importanza ed alla grandezza di questo meraviglioso trattato, ma serve a far comprendere la diversità “storica” dei modi di ragionare e di intendere la matematica.
Nel 1636, possiamo dire contemporaneamente alla pubblicazione del “Discorso” di Cartesio, Fermat, ricostruendo i “Luoghi piani” di Apollonio alla luce di quanto contenuto nella “Collezione matematica” di Pappo, scopre il già citato principio fondamentale della geometria analitica. Anche in questo caso il principio non nasceva da considerazioni pratiche, ma dall’applicazione dell’algebra a problemi della geometria antica.
Però per Fermat, a differenza di Cartesio, era importante abbozzare soluzioni di equazioni indeterminate invece che di equazioni determinate ed inoltre nel suo breve trattato “Ad locos planos et solidos isagoge” , invece di partire come il suo contemporaneo da tre o più rette una delle quali scelta come asse delle ascisse , Fermat parte dall’equazione lineare e sceglie un sistema di coordinate arbitrario nel quale rappresentarla.
Fermat inizia con il rappresentare graficamente l’equazione “D in A aequetur B in E” (Dx=By) che, naturalmente, rappresenta una semiretta uscente dall’origine (non si usano coordinate negative), per poi passare, successivamente, all’equazione ax+by=c2 , all’equazione xy=k2 (che mostra essere una iperbole), all’equazione a2
x2 = by (che
mostra esser una parabola), all’equazione x2+y2+2ax+2by = c2
(che mostra essere una circonferenza), all’equazione
a2+x2=ky2 (che mostra essere
un’iperbole) e all’equazione a2-x2=ky2
(che mostra essere un’ellisse).Notiamo che la geometria analitica di Fermat è più vicina alla nostra perché le coordinate usate erano ortogonali.