La serie di Fourier

            Joseph Fourier (1768-1830) diventò insegnante di matematica dapprima nella scuola militare della città di Auxerre e successivamente all’Ecole Normale e all’Ecole Politechnique; nel 1798 si unì a Monge per accompagnare Napoleone nella spedizione egiziana e, ritornato in Francia, si dedicò alle sue ricerche scientifiche, ricerche già avviate nella spedizione egiziana.

            L’opera più famosa di Fourier è la celebre Théorie analytique de la chaleur (1822), opera definita da Lord Kelvin come “un grande poema matematico” ed in cui il matematico rende rigorosa un’idea avuta già da Daniel Bernoulli, cioè che una qualsiasi funzione y=f(x) può venire rappresentata tramite una serie della forma:

 y = a₀/2 + a₁cosx + a₂cos2x + …+ a_ncosnx + b₁senx + b₂sen2x + … + b_nsennx + …

Tale espressione è nota oggi, appunto, come serie di Fourier, e permette di studiare tipi di funzione più generali rispetto a quanto consentito dalla serie di Taylor. I coefficienti di questo sviluppo sono:

Una serie di Fourier non sempre converge verso il valore di una funzione dalla quale essa è derivata, ma L. Dirichlet nel 1828 dimostrò il teorema secondo cui  se f(x) è periodica di periodo 2p, e se per -p<x<p la funzione ha un numero finito di valori di massimi e minimi e presenta un numero finito di punti di discontinuità, e se l’integrale   è finito, la serie di Fourier converge verso f(x) in tutti i punti in f(x) è continua, mentre nei punti di discontinuità converge verso la media aritmetica dei limiti a destra e a sinistra della funzione.

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