, tra le più belle dimostrazioni che si incontrano nella matematica. L’infinità dei primi
La dimostrazione che
l’insieme dei numeri primi è infinito si trova un po’ dappertutto sui libri
specialistici e su quelli divulgativi. Si può andare a leggere sul suo primo
sistematore se non enunciatore Euclide ( IX, 20
) come in altri autori. I passi antologici che si propongono sono tratti
da:
Gli
elementi di Euclide
G.Hardy, Apologia di
un matematico
Jean Dieudonne',
L'Arte dei numeri
L’infinità
dei numeri primi Euclide la enuncia così:
‘Esistono
[sempre] numeri primi in numero maggiore di quanti numeri primi si voglia
proporre [cioè la serie dei numeri primi è illimitata]’.
Nella traduzione
di Fraiese-Maccioni degli Elementi
si trova la seguente considerazione:
«Euclide
non introduce direttamente l’infinità dei numeri primi. Si tratta soltanto
dell’infinità intesa in senso potenziale: qualunque insieme di numeri primi
ci piaccia fissare esiste sempre almeno un altro numero primo non compreso
nell’insieme: cioè i numeri primi sono sempre di più di qualunque quantità
prefissata di numeri primi.
La classica dimostrazione è la
seguente.
Sian dati i numeri primi a,b,c.
Dico che esiste almeno un quarto numero primo.
Per raggiungere lo scopo si
moltiplicano tra loro i tre numeri dati e si aggiunge una unità: si ottiene così
il numero: d = abc + 1.
Se d è primo è stata
dimostrata l’esistenza di un quarto numero primo. Se d non è primo, esso
ammette un divisore primo ( VII,31 ) : sia questo il numero h. Dico che h è
diverso da a, b , c, e quindi che esso è il quarto numero primo del quale si
voleva appunto dimostrare l’esistenza.
Se, infatti, il numero h fosse
uguale ad uno dei tre numeri a, b, c, esso dividerebbe il prodotto abc. Ma s’è
supposto che h divida anche d = abc +1, quindi h dividerebbe pure la
differerenza tra (abc + 1) e abc, ossia l’unità: cosa assurda.»
G.Hardy, Apologia di una dimostrazione
La
dimostrazione che esistono infiniti numeri primi è per G. Hardy,
insieme alla irrazionalità di
, tra le più belle dimostrazioni che si incontrano nella matematica.
Ecco
come lo scrive Hardy:
«Enuncerò e dimostrerò due dei più famosi teoremi della matematica greca. Sono teoremi “semplici”, sia nell’idea che nell’esecuzione, tuttavia sono di primissimo ordine. Ciascuno di essi conserva la freschezza e l’importanza di quanto è stato scoperto: 2000 anni non vi hanno lasciato una ruga. Per di più enunciato e dimostrazione possono essere pienamente compresi in meno di un’ora da un lettore intelligente, per quanto scarso sia il suo bagaglio di cognizioni matematiche.
Il primo è la dimostrazione
fatta da Euclide dell’esistenza di un numero infinito di numeri primi.
I numeri primi, o semplicemente, i primi, sono quei numeri (A) 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,… che non possono essere scomposti in prodotto di fattori minori. Per questo 37 e 317 sono numeri primi.
I numeri primi sono il materiale attraverso cui dalla
moltiplicazione, si costruiscono tutti i numeri : per esempio si ha 666=2×3×3×37. Ogni numero che non è un numero primo è
divisibile per almeno un numero primo( in genere, naturalmente, per molti).
Dobbiamo dimostrare che esistono infiniti numeri primi e cioè che la
successione (A) non termina mai.
Supponiamo invece che abbia fine e che 2,3,5,…,P
rappresenti la successione completa dei numeri primi (per cui P risulta il
massimo numero primo). Con questa ipotesi consideriamo il numero Q definito
dalla formula Q = (2×3×5×…×P)+1. E’ evidente che Q non è divisibile
per nessuno dei numeri 2, 3, 5,…,P, perché il resto della divisione per
ognuno di questi numeri sarà sempre 1. Ma, se Q stesso non è un numero primo,
esso è divisibile per qualche numero primo ( che può essere lo stesso numero
Q) che supera tutti quelli della successione. Questo contraddice l’ipotesi che
non esiste un numero primo maggiore di P, e perciò la nostra ipotesi è falsa.
Questa è una dimostrazione per
reductio ad absurdum, e la reductio
ad absurdum , tanto amata da Euclide, è una delle più belle armi del
matematico. E’ un gambetto molto più raffinato di qualsiasi gambetto degli
scacchi: un giocatore di scacchi può offrire in sacrificio un pedone o anche
qualche altro pezzo, ma il matematico offre la
partita.» (G.Hardy, Apologia di un
matematico, Garzanti Editore)
Jean
Dieudonne' in L'Arte dei numeri definisce (Mondadori Editore)
d’accordo con Hardy, come il più bel teorema dell’aritmetica greca, il
fatto che esistono infiniti numeri primi:
«La dimostrazione data da Euclide è molto
semplice; ma io preferisco presentarne
un’altra , dovuta a Eulero, perché ha aperto la strada a quella che oggi
viene chiamata ‘la teoria analitica dei numeri primi’; è possibile
presentarla comunque utilizzando
l’algebra elementare. Si tratta di un ragionamento ‘per assurdo’, in cui
si suppone che
( in ordine crescente ) siano i
soli numeri primi e se ne trae una
conclusione assurda. Ogni intero n si
può decomporre nel prodotto
in modo unico, ammettendo che
alcuni degli esponenti
possano essere nulli ( il fattore
in tal caso diventa 1). Sia N un
naturale arbitrariamente grande e consideriamo il prodotto
Per
svolgere questo prodotto occorre prendere un termine in ogni parentesi, fare il
prodotto di questi termini e poi fare la somma di tutti i prodotti parziali così
ottenuti. Ora questi prodotti hanno la forma
dove n
è della forma
ma con la restrizione che
per tutti gli esponenti. Per l’unicità della scomposizione tutti questi
prodotti sono distinti; ma l’osservazione essenziale è che tutti i numeri n
compresi tra 1 e
compaiono ( una sola volta per quello che abbiamo appena detto) in un prodotto
parziale
. In effetti se,
nella scomposizione
nessuno degli esponenti
può risultare più grande di N-1,
perché allora il numero n sarebbe
uguale almeno a
mentre lo si è supposto
; allora
compare davvero come uno dei
prodotti parziali nello sviluppo di
Naturalmente ci sono in
altri prodotti parziali, ma quello
che si è dimostrato è che risulta
La somma a secondo membro non è
facile da calcolare , ma la si può rimpiazzare con un numero minore nel
seguente modo: si raggruppano i termini in somme parziali fermandosi alle
potenze di
1+
La prima parentesi contiene due
termini che sono uguali almeno a 1/4, quindi essa è ³
1/2. La seconda ha 4 termini almeno uguali a 1/8, quindi è ³
4/8 =1/2. Continuando in questo modo si vede che ogni parentesi è ³
1/2, perché ha
termini e tutti risultano ³
1/2. Essendo N-1 le parentesi ,, si ha
infine
Ma si può esprimere
in altro modo con la formula che dà
la somma dei termini di una progressione geometrica.
da cui
Sostituendo 1 a tutti i fattori del numeratore, si ha la disuguaglianza
e il secondo membro non dipende più
da N. Confrontando (1) e (2) si
ottiene
cioè
ed essendo N
arbitrariamente grande, si è arrivati a un assurdo.»