Programma
di MATEMATICA
Classi: 47/A e 49/A
L’esame comprende una prova scritta e una prova orale.
Le prove di matematica, scritta e orale, vertono sugli argomenti contenuti nell’Allegato A, nonché sulle problematiche metodologiche e didattiche relative alla matematica.
La prova scritta, comune e obbligatoria per le classi di concorso 47/A e 49/A, consiste nello svolgimento di quesiti di matematica tra più proposti con riferimento ai contenuti previsti nell’Allegato A.
E’ consentito soltanto l’uso di calcolatrice tascabile numerica non programmabile.
Durata della prova: 8 ore.
N.B.: L’esito
positivo della prova scritta è condizione di ammissione alle prove successive
(D.M. 10 agosto 1998, n. 354, art. 4, comma 2 ).
La prova orale verte sui contenuti previsti nell’Allegato A e sugli aspetti metodologico-didattici della matematica.
1. Elementi di logica matematica: il calcolo proposizionale; regole d’inferenza e derivazioni nel calcolo dei predicati.
Il metodo ipotetico deduttivo: concetti primitivi, assiomi, definizioni, teoremi. Coerenza, indipendenza e completezza di un sistema di assiomi. Sistemi formali e modelli.
2. Algoritmi e loro proprietà. Costruzione di algoritmi e loro traduzione in un linguaggio di programmazione.
Insiemi di dati e loro strutture notevoli.
Implementazione di algoritmi diretti e iterativi. Controllo della precisione. Algoritmi ricorsivi. Complessità computazionale.
Formalizzazione del concetto di algoritmo. Tesi di Church. Funzioni non calcolabili. Problemi non decidibili.
3. Nozioni di teoria degli insiemi: operazioni sugli insiemi, prodotto cartesiano, relazioni. Strutture d’ordine.
Gli insiemi numerici: N, Z, Q, R, C. Numeri algebrici e numeri trascendenti. Principio d’induzione.
Cardinalità di un insieme. Insiemi infiniti e confronto tra essi.
Strutture algebriche: gruppo, anello, corpo. Spazi vettoriali. Basi, trasformazioni lineari.
Matrici, determinanti, risoluzione di sistemi lineari. Struttura algebrica dell’insieme delle matrici.
4. La geometria euclidea e i suoi assiomi. Geometria affine e proiettiva. Geometrie non euclidee. Spazi topologici.
Il metodo analitico in geometria: curve e superfici algebriche.
Trasformazioni geometriche: isometrie, similitudini, affinità, proiettività.
Trasformazioni topologiche. Le geometrie secondo il programma di Klein.
5. Successioni numeriche. Funzioni.
Limite, continuità. Calcolo differenziale per funzioni di una e più variabili reali.
Il problema della misura. Calcolo integrale per funzioni di una variabile reale.
Serie numeriche. Sviluppo in serie di una funzione in una variabile reale: serie di potenze, serie di Fourier.
Equazioni differenziali ordinarie.
6. Il calcolo numerico: errori e loro propagazione, interpolazione. Risoluzione approssimata di equazioni. Integrazione numerica.
7. Eventi aleatori. Probabilità: definizioni, valutazioni e proprietà.
Probabilità condizionata, indipendenza stocastica. Teorema di Bayes.
Variabili aleatorie. Alcune distribuzioni di probabilità: binomiale, geometrica, di Poisson, rettangolare o uniforme su un intervallo, esponenziale, normale.
Convergenze: legge dei grandi numeri e teorema centrale del limite.
Relazioni fondamentali tra le diverse distribuzioni.
8. Indagine statistica: fasi dell’indagine, rilevazione dei dati, codifica e archiviazione. Analisi statistica univariata: distribuzioni statistiche e rappresentazioni grafiche. Indici statistici per variabili quantitative e proprietà.
Analisi statistica bivariata: distribuzioni statistiche bivariate (tabelle a doppia entrata); distribuzioni congiunte, condizionate, marginali; indipendenza e connessione.
Regressione. Adeguatezza del modello. Bontà dell’adattamento. Regressione lineare multipla.
Inferenza statistica: schemi di campionamento; problemi e metodi di stima parametrica.
9. Strumenti e programmi informatici per il calcolo matematico numerico e per la grafica.
10. I principali momenti della storia della matematica.