MINISTERO DELL'ISTRUZIONE, DELL'UNIVERSITÀ E DELLA RICERCA

SCUOLE ITALIANE ALL’ESTERO

ESAMI DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO

Sessione suppletiva 2005

Calendario australe

SECONDA PROVA SCRITTA

Tema di Matematica

 

 

PROBLEMA 1

Si consideri l’equazione .

  1. Si determinino a e b in modo che la sua curva rappresentativa Γ sia tangente, nel punto A di ascissa –1, alla retta r d’equazione y = 4. Si disegni Γ.

  2. La retta r incontra Γ in un altro punto B. Si calcoli l’area della regione di piano delimitata dal segmento AB e da Γ.

  3. Si determini l’equazione della retta s per l’origine degli assi che delimita con Γ e con l’asse y una regione finita di piano, nel secondo quadrante, di area 5/4.

 

PROBLEMA 2

Sia f la funzione definita da f(x) = senx + acosx + b, con

  1. Calcolate a e b in modo che sia punto di massimo relativo e f(π/6)=0;

  2. Tracciate il grafico λ della funzione così ottenuta e dite se essa ha un massimo assoluto e un minimo assoluto;

  3. Calcolate l’area della regione finita di piano delimitata dalla tangente a λ nel suo punto di ascissa nulla, da λ e dalla retta .

      4.  

       

QUESTIONARIO

  1. L’equazione esprime il teorema del valore medio o di Lagrange. Determinare c quando , a=0 e b=1.

  2. Un recipiente contiene 1000 litri di liquido. Se è un prisma regolare a base triangolare, quali ne sono le dimensioni minime, espresse in metri?

  3. Quale è il cono di volume massimo inscrivibile in una sfera assegnata?

  4. La funzione è invertibile? Perchè? Quale ne è la derivata? In genere, come si calcola la derivata della funzione inversa ?

  5. Dimostrare che la funzione ha infiniti punti di massimo e minimo relativo in . In quali punti la funzione assume valore 1 e in quali –1?

  6. Fra tutte le primitive di trovare quella il cui grafico passa per il punto (0, 5).

  7.  Spiegare perché l’equazione 3x = - x2 + 5 x – 8 non ammette soluzioni.

  8.  Perché tutte le tangenti alla curva d’equazione y = x3 + 3x – 4 formano un angolo acuto con la direzione positiva dell’asse x ? Illustra le ragioni della tua risposta.

 

 

 

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Durata della prova: 6 ore.

Non è consentito lasciare l’Istituto prima che siano trascorse 3 ore dalla dettatura del tema.

È consentito l’uso della calcolatrice non programmabile.