ESAME DI STATO: Indirizzo Scientifico
Sessione ordinaria 2005
SECONDA PROVA SCRITTA
Tema di MATEMATICA

Il candidato risolva uno dei due problemi e 4 dei 7 quesiti in cui si articola il questionario:

 

PROBLEMA 1.

Il triangolo ABC è isoscele sulla base BC e contiene il centro della circonferenza k circoscritta ad esso. Condotta la retta t tangente a k in C, indicare con D la proiezione ortogonale di A su t e con E quella di A su BC.

a)   Dimostrare che i triangoli ACD e ACE sono congruenti.

b)   Ammesso che le misure del raggio della circonferenza k e del segmento AE, rispetto ad un’assegnata unità di misura, siano  e 2, riferire il piano della figura ad un conveniente sistema di assi cartesiani (Oxy), in modo però che l’asse x  sia parallelo alla retta BC. Trovare:

  1. le coordinate dei punti B, C, D;

  2. l’equazione della circonferenza k;

  3. l’equazione della parabola p avente l’asse perpendicolare alla retta BC e passante per i punti B, C, D.

c)   Stabilire analiticamente se la circonferenza k e la parabola p hanno altri punti in comune oltre ai punti B e C.

 

 

PROBLEMA 2.

In un piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy), sono assegnate le curve di equazione:

,

dove a e b sono parametri reali.

a)   Determinare a quali condizioni devono soddisfare tali parametri affinché la corrispondente curva sia situata nel semipiano y≥0.

b)   Esistono valori di a e b tali che la curva corrispondente sia situata nel semipiano y<0?

c)   Tra le curve assegnate indicare con K quella che ha un minimo relativo uguale a 0 ed un massimo relativo uguale ad 1.

d)   Controllato che la curva K si ottiene per a=-2 e b=1, disegnarla.

e)   Calcolare infine le aree delle regioni in cui la curva K divide il cerchio di centro O e raggio 1.

 

 

QUESTIONARIO.

 

  1. Nello spazio si considerino tre rette a, b, c, comunque scelte ma alle seguenti condizioni: la retta a è strettamente parallela alla retta b e la retta b è strettamente parallela alla retta c. Si può concludere che le rette a, c non hanno punti in comune? Fornire una esauriente motivazione della risposta.

  2. Un piano g interseca i due piani a e b, paralleli in senso stretto, rispettivamente secondo le rette a e b. Si può concludere qualcosa circa le posizioni reciproche di queste due rette? Fornire esaurienti spiegazioni della risposta.

  3. Dimostrare che la derivata, rispetto ad x, della funzione  è , esplicitando ciò che si ammette.

  4. Le parti letterali dei termini dello sviluppo del binomio , ordinati secondo le potenze decrescenti di a e crescenti di b, sono rispettivamente:
    .
    Elencare i loro coefficienti e giustificare in modo esauriente la risposta.

  5. In una fabbrica lavorano 35 operai e 25 operaie. Si deve formare una delegazione comprendente 3 operai e 2 operaie. Quante sono le possibili delegazioni?

  6. Calcolare il limite della funzione  per x tendente a +¥. È vero o falso che si può ricorrere al teorema di De L’Hôpital? Fornire una esauriente spiegazione della risposta.

  7. Calcolare, se esiste, la funzione f(x) tale che .

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 Durata della prova: 6 ore.

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