Il nuovo concorso a cattedre e l’«Hélène de la géométrie»

Cosa studiare per prepararsi al concorso a cattedre di matematica?

Il bando del prossimo concorso a cattedre è pronto e fra qualche settimana, pare che sarà pubblicato. Molti giovani lo stanno aspettando da tempo e da tempo vivono l’ansia della preparazione. Cosa studiare? Non mancano le iniziative e le offerte di corsi di preparazione. Anzi! Adesso però si tratta di concretizzare e nel paniere delle proposte un elemento di studio sempre presente è costituito dalle prove scritte assegnate nelle passate tornate concorsuali.

Senza andare troppo in là nel tempo addietro, un buon riferimento è la prova del concorso del 2000 per l’ambito 8 (matematica e matematica e fisica). Una prova che fu ritenuta molto innovativa, ma anche impegnativa. I tre gruppi di quattro quesiti nei quali la prova si articolava forniscono ancor oggi, globalmente, un orientamento per gli studi suggerendo argomenti e tagli della trattazione, procedure e questioni didattiche.

Si tratta di quesiti che toccano questioni che possono ben ritenersi punti focali di una buona preparazione del docente di matematica della scuola secondaria di secondo grado.  I quesiti sono ben distribuiti all’interno dei gruppi  e vi assicurano una bilanciata presenza di questioni tecniche/procedurali, critico/concettuali, storiche/culturali/didattiche desunte dai vari settori della matematica.

Il primo gruppo: la cissoide di Diocle e i problemi classici dell’antichità. Insiemi infiniti e confronto tra essi. I metodi diagonali di Cantor e l’ipotesi del continuo; la cardinalità dei numeri algebrici e dei numeri trascendenti. Il metodo di Newton per il calcolo delle radici di una equazione. Il teorema di Talete: enunciato e dimostrazione, risultati decidibili.

Il secondo gruppo: la formula di Taylor, la sua importanza per il calcolo approssimato e la solidarietà locale-globale da essa stabilita per i polinomi. L’infinità dei numeri il problema della loro distribuzione e il comportamento asintotico della funzione

π(n)

che dà il numero dei primi compresi tra 2 e n. L’equivalenza delle figure piane. La formula di Erone per l’area di un triangolo e la validità della formula di Brahmagupta per l’area di un quadrilatero. Le diverse definizioni di probabilità, e  l’affermazione: «Probability does not exist » di Bruno de Finetti.

Il terzo gruppo: la cicloide, Hélène de la géométrie, le equazioni della cicloide ordinaria e le sue misure più significative. Le proprietà di tautocrona e di brachistocrona di cui gode. La formula

e+1=0

Il numero

π

, storia e calcolo. La sezione aurea di un segmento:  l’interesse storico ed artistico; il legame con la serie di Fibonacci. Il calcolo di senx e cosx per x=18° e x=54°. L’approssimazione di un integrale, la funzione gaussiana e la distribuzione normale di probabilità.

La prova, proprio per queste sue caratteristiche di essere ampia e impegnativa, consentì, a detta delle commissioni giudicatrici, una buona valutazione dei candidati sia sotto il profilo del criterio quantitativo che qualitativo. Il gruppo di quesiti più affrontato fu naturalmente  il primo: iniziava con lo studio di una curva algebrica cioè con un tema che era da decenni tradizionale nei concorsi. Anche il gruppo tre iniziava con una curva algebrica, la cicloide, ma la formulazione non era delle più ortodosse e la maggior parte dei candidati si limitò a descriverla e a riportarne le cose più note. Pochissimi mostrarono di conoscere il significato di tautocrona e brachistocrona.

Vale anche la pena di riportare una reazione immediata alla lettura della prova. L’espressione “solidarietà locale-globale”, infatti, è stata posta in grassetto non perchè tale figuri nel testo ministeriale, ma perchè fu fonte di perplessità varie e anche di proteste subito però rientrate. Qualche presidente di commissione infatti chiese subito se non ci fosse un errore non appartenendo quell’espressione, in particolare quel termine solidarietà, al vocabolario della matematica. Gli uffici ministeriali chiarirono subito che si trattava del fatto che per i polinomi la conoscenza locale implica quella globale e che il termine era ampiamente presente nella letteratura matematica.

L’unica richiesta che oggi appare improbabile è “Codifichi infine in un linguaggio di programmazione la procedura seguita” allora consigliabile perchè rientrava nelle domande della prova scritta degli esami di maturità per l’indirizzo PNI..

Le due animazioni sotto riportate esprimono da sè senza bisogno di parole aggiuntive che l’area della cicloide ( ordinaria) è tre volte quella del suo cerchio generatore (c’è un poco di tutto: uguaglianza, congruenza, equivalenze, indivisibili….)

 

 
 

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