Divisibilità

da Davis&Hersh, L’esperienza Matematica, Edizioni di Comunità, 1985, pagg. 254-255:

[…] Partirò da un enunciato che chiamerò il “seme”. L’enunciato seme deve essere interessante e semplicissimo. Lo scopo dell’esercizio è che lo studente innaffi il seme affinchè si trasformi in una pianta rigogliosa. Di solito io offro agli allievi diversi semi ed essi scelgono quale innaffiare in base alla loro esperienza.

Atto primo

SEME: “Se un numero termina con 2 è divisibile per 2”.

ESEMPI: 42 termina con 2 ed è divisibile per 2, 2  è divisibile per 2.

DIMOSTRAZIONE : Un numero è pari se e solo se termina con 0,2, 4, 6, 8. Tutti i numeri pari sono divisibili per 2. In particolare quelli che terminano con 2 sono divisibili per 2.

DIMOSTRAZIONE (più elaborata) : Se un numero in forma decimale è ab….c2 allora chiaramente è della forma (ab…..c0) + 2, quindi della forma 10Q + 2 = 2 (5Q + 1).

SALTO CONGETTURALE : Se un numero termina con N , per N.

COMMENTO: Coraggio, fate l’ovvia generalizzazione. Non cadrà il cielo se risulta falsa.

ESEMPIO: Se un numero termina con 5 è divisibile per 5. Sicuro: 15, 25, 128095, ecc, Ma, ahimè.

CONTROESEMPIO : Se un numero termina con 4 è divisibile per 4? 14 è divisibile per 4? No. Peccato.

OBIEZIONE : Alcuni numeri che terminano con 4 sono divisibili per 4: 24; alcuni numeri che terminano con 9 sono divisibili per 9: 99.

RICAPITOLAZIONE: Sembra che i numeri 1, 2,….., 9 si possano dividere in due categorie. Categoria I: Le cifre N tali che se un numero termina con N è anche divisibile per N. Categoria II: Le cifre N tali che se un numero termina con N è divisibile per N solo di quando in quando.

  • Categoria I:. 1, 2, 5.
  • Categoria II: 3, 4, 6, 7, 8, 9.

QUESTIONE PROCEDURALE: Che dire dei numeri che con 0? Sono divisibili per 0? No. Ma sono divisibili per l0. Hmm. Bisognerà vedere. Questo fenomeno non si accorda con la forma del seme. DEFINIZIONE: Chiamiamo “numeri magici” quelli della Categoria I. Godono di una proprietà divertente.

TEOREMA PROVVISORIO: I numeri 1, 2 e 5 sono magici. Essi sono gli unici numeri magici.

CONTROESEMPIO : Che dire del numero 25? Non è forse magico? Se un numero termina con 25 è divisibile per 25. Per esempio: 225 o 625.

OBIEZIONE: Pensavamo si parlasse solo dei numeri di una cifra.

RIFIUTO: Sì, all’inizio era così. Ma il fenomeno del 25 è interessante. Ampliamo un po’ l’indagine. RIFORMULAZIONE: Poniamo ora che N rappresenti non necessariamente un numero di una cifra ma di più cifre come 23, 41, 505 ecc. Definiamo  che N è magico se un numero che termina con il gruppo di cifre N è divisibile per N. Ha senso la definizione così estesa?

ESEMPI: Sì, ha senso. 25 è magico, 10 è magico, 20 è magico, 30 è magico.

CONTROESEMPIO: 30 non è magico, 130 non è divisibile per 30. Pensateci un po’, come fate a sapere che 25 è magico?

TEOREMA: 25 è un numero magico.

DIMOSTRAZIONE: Se un numero termina con 25 in forma decimale è del tipo abc… e25 = abc…e00 + 25, quindi della forma 100Q + 25 =25 (4Q + 1).

RIFORMULAZIONE DELL’OBIETTIVO: Trovare tutti i numeri magici.

ACCUMULAZIONE D’ESPERIENZA: 1, 2, 5, l0, 25, 50, 100, 250, 500, 1000 sono numeri magici.

OSSERVAZIONE: Tutti i numeri magici che siamo riusciti a trovare sembrano prodotti di 2 e 5. Certamente lo sono quelli elencati.

CONGETTURA: Ogni numero della forma N = 2p*5q dove p ³ 0, q ³ 0 è un numero magico.

COMMENTO: Sembra ragionevole. Che cosa abbiamo da perdere?

CONTROESEMPIO: Si prenda p = 3 e q = 1. Allora N = 23 * 5 = 40. Se un numero termina con 40 è divisibile per 40? No, ad es. 140.

RIFORMULAZIONE: E se prendessimo la cosa per l’altro verso? Tutti i numeri magici che abbiamo trovato sono della forma  2p*5q . Forse tutti i numeri magici sono di questa forma.

OBIEZIONE: Non è quello che ha appena proposto?

RIFIUTO:  No, quel che è stato proposto era  l’altro verso : un numero della forma 2p*5q è magico. Vedete la differenza?

TEOREMA: Se N è un numero magico, allora N = 2p*5q

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