(da
Analisi Matematica di George B. Thomas, Ross L. Finney, Zanichelli, 1986)
«….i fratelli Giovanni e Giacomo Bernoulli…… furono amichevoli rivali e si stimolarono con problemi matematici sotto la forma di sfide.
Uno, il problema della brachistocrona, era il seguente: tra tutte le curve regolari che
congiungono due punti dati, trovare quella lungo la quale un grave, per esempio
una perlina, soggetto unicamente alla forza di gravità, potrebbe discendere nel
più breve tempo possibile.
Due punti, contrassegnati con
e
giacciono in un piano verticale,
rispettivamente nell’origine e in
. Si può formulare il problema in termini matematici come segue. L’energia
cinetica del grave ( assimilabile a un punto materiale
) nel punto di partenza è nulla, poiché è nulla la sua velocità. Il
lavoro compiuto dalla forza di gravità nello spostare il punto materiale dal
punto (0,0) a qualunque punto
è mgy e questo lavoro deve essere
uguale alla variazione dell’energia cinetica del punto materiale; cioè
Perciò,
la velocità
che
il punto materiale ha quando raggiunge P(x,y) è
Cioè,
L’intervallo
di tempo
che il punto materiale impiega per
discendere da
a
dipende dalla particolare curva y =
f(x) lungo la quale si muove ed è dato da
Il
problema è trovare la curva che passa per i punti
(0,0) e
e minimizza il valore
dell’integrale indicato nella (1). ( Il termine brachistocrona è composto dalle parole greche brachistos = il più breve e chronos
= tempo e significa il “tempo più breve”).
A
prima vista, si potrebbe congetturare che la retta congiungente
e
dia anche il più breve intervallo
di tempo, ma basta riflettere un momento per mettere in dubbio questa congettura
poiché si potrebbe guadagnare un
certo intervallo di tempo facendo sì che il punto materiale cominci a cadere
verticalmente all’inizio, aumentando così la sua velocità più rapidamente
di quanto potrebbe fare se dovesse discendere lungo una traiettoria inclinata. Con
questa maggiore velocità, il punto materiale può riuscire a percorrere
un cammino più lungo raggiungendo
in un intervallo di tempo più breve. La risoluzione di questo problema esula
dall’ambito di questo libro, ma la brachistocrona è in realtà un arco di
cicloide passante per
e
avente una cuspide
nell’origine.
Scrivendo
l’equazione (1) nella forma equivalente
e
sostituendo le equazioni della cicloide nell’equazione precedente, si ottiene
come
intervallo di tempo che il punto materiale impiega per discendere da
a
. L’intervallo di tempo impiegato dal punto materiale per raggiungere
l’estremo inferiore dell’arco si ottiene ponendo
E’ un fatto notevole (…) che
l’intervallo di tempo impiegato dal punto materiale per discendere lungo la
cicloide da (0,0) al punto più basso (ap,
2a) è uguale all’intervallo di tempo che il punto materiale impiega, partendo
dalla quiete, per discendere da qualunque
punto intermedio dell’arco, per esempio da
, a (ap,
2a). In questo caso, la velocità in P(x,y) è
e
l’intervallo di tempo impiegato è (…)
Poiché
il risultato è indipendente dal valore
ciò significa che il punto materiale impiega lo stesso intervallo di tempo per
raggiungere il più basso punto della cicloide, qualunque sia il punto
dell’arco da cui viene abbandonato a se stesso dalla quiete.(…). In questo
senso, la cicloide è anche tautocrona ( dal greco tauto =
lo stesso e chronos = tempo) oltre a essere una brachistocrona.