Prove d’esame discriminanti e natura del teorema della farfalla

L’antisemitismo matematico nella Unione Sovietica degli anni settanta del secolo scorso nel racconto autobiografico di Laurent Schwartz.

 

Era il 1978. Le prove utilizzate per selezionare le iscrizioni al corso di laurea in matematica presso l’Università di Mosca contenevano domande del tipo:

  • Scrivere la legge del coseno
  • La funzione xx3 è differenziabile nellorigine?
  • Tracciare il grafico di y=2x1

e domande del tipo:

  • Quale tra 413 13e  6+313 è il numero più grande?
  • Trovare le soluzioni intere dellequazione xy=yx
  • Dimostrare che un poligono convesso di area 1 contiene un triangolo di area pari a 14

Anche se il concetto di difficoltà non è assoluto, specie in matematica, una certa diversità tra le domande risalta subito.  Quelle del secondo gruppo si presentano, già al primo sguardo, più ostiche. Ad esempio, come si fa, senza possedere uno strumento di calcolo che ci aiuti, a rispondere, rapidamente, nei pochi attimi concessi, alla prima delle domande? E si tratta di numeri vicinissimi: 7,447… e 7,442….!

Gli esempi riportati sono tratti da un catalogo molto più ampio compilato con uno scopo ben preciso: far conoscere alla comunità internazionale dei matematici le discriminazioni in atto nell’Unione Sovietica di quegli anni. Il primo gruppo di domande, infatti, era riservato ai candidati non ebrei, il secondo ai candidati ebrei. In questo modo la procedura adottata portò subito a diminuire il numero degli ebrei iscritti ai corsi di matematica che nell’Università di Mosca passarono dagli 84 su 400 iscritti nel 1969 a 4 su 400 nel 1977 e addirittura 1 su 400 nel 1978 e pare solo grazie all’intervento di Kolmogorov e Manine.  L’ondata di antisemitismo di quegli anni fu molto forte e si manifestò anche nei convegni internazionali ove sempre più esigua divenne la presenza dei matematici ebrei privati del necessario visto governativo. Un antisemitismo che non mancava del sostegno di autorevolissime personalità accademiche – tra queste i nomi più ricorrenti erano quelli di Vinogradov e Pontrjagin – e che, ovviamente, ebbe l’effetto di impoverire la matematica russa che perse molto del suo prestigio internazionale.

A rivelare questo stato di cose fu Izrail’ Moiseevič Gel’fand che aveva anche lui patito veti governativi per le sue origini. Durante una breve permanenza a Parigi alla quale era stato autorizzato, ne parlò con Laurent Schwartz un’autorità nel campo matematico e scientifico, accademico di Francia, medaglia Fields per la matematica nel 1950 e protagonista di tante battaglie per le rivendicazioni dei diritti politici e civili. L. Schwartz (1915 – 2002) si attivò subito con la costituzione, tra l’altro, di un comitato internazionale per la difesa dei matematici ebrei in Russia, al quale aderirono numerosi matematici in tutto il mondo e in Italia, tra gli altri,  Lucio Lombardo Radice, allora membro autorevole del comitato centrale del partito comunista, e Ennio De Giorgi.  Il comitato non tardò a dare i suoi frutti anche se per la soluzione definitiva del problema si dovette attendere l’arrivo al potere dell’uomo della svolta: Mikhail Gorbaciov.

Questa vicenda insieme alle tante di cui Laurent Schwartz è stato protagonista – dalla lotta per l’Algeria libera e contro le guerre in Indocina,Vietnam, Afghanistan alle battaglie per la liberazione di Andrej Sacharov, Nobel per la pace nel 1975, e dei matematici Leonid Pliusc in Unione Sovietica e di José Luis Massera (di origini italiane) in Uruguay –  si trova efficacemente descritta nella sua autobiografia.  Un’opera magnifica, 600 pagine di un racconto sempre avvincente, storico e psicologico, razionale e passionale, personale e universale e decisamente pedagogico e educativo.

Di quella ondata di antisemitismo matematico si è poi ampiamente parlato durante l’ultimo decennio del XX secolo e molti articoli apparsi su varie riviste, in particolare The Mathematical Intelligencer, hanno contribuito a farla conoscere. Da allora anche il teorema della farfalla (butterfly theorem) che figurava nel catalogo dei “problemi micidiali” usati per buttare fuori chi non era considerato etnicamente o politicamente corretto, è divenuto notissimo come teorema antisemita.

Ecco il teorema della farfalla:

In un cerchio sono dati una corda AB e il suo punto medio M.  Sono tracciate altresì due corde PQ e RS passanti entrambe per M. Se U e V denotano le intersezioni rispettive delle corde PS e QR con AB, allora M è punto medio del segmento UV.

Dimostrare questo teorema non è proprio banale neppure per un matematico esperto ma la rete internet offre oggi un ampio ventaglio di dimostrazioni, in particolare:

http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/Butterfly.shtml

http://demonstrations.wolfram.com/TheButterflyTheorem/

Un’analisi particolare del teorema si trova però in La Mente Matematica, Dedalo, 2009, di David Ruelle.  La particolarità delle considerazioni di D. Ruelle sta nel loro eccezionale valore pedagogico, nel fatto cioè che egli indaga natura e essenza del teorema, contribuendo alla sua più profonda e piena comprensione. In effetti D. Ruelle si muove nella visione del programma di Erlangen di Felix Klein, delle diverse geometrie: metrica, affine, proiettiva. Ruelle classifica il problema. Certo il problema coinvolge il cerchio che è il prototipo degli oggetti della geometria metrica come lo è il teorema di Pitagora. Ma la questione attiene anche al punto medio che è una nozione metrica ma anche affine al pari della divisione di un segmento in parti proporzionali e, più in generale, del teorema di Talete e poi c’è anche un allineamento di punti che è concetto proiettivo com’è il teorema di Pappo. A quale di queste geometrie appartiene il teorema della farfalla? Esso appartiene alla geometria proiettiva piuttosto che a quella metrica perché è vero che il cerchio è un oggetto metrico ma compare anche in modo naturale nella geometria della retta proiettiva complessa. Quindi la soluzione più naturale ed elegante deve trovarsi in questo ambito cosa che Ruelle fa ammettendo che i punti A, B, P, R siano numeri complessi e considerandone il birapporto (A, B; P, R) che è un numero reale essendo A, B, P, R punti di un cerchio. La dimostrazione di Ruelle è ampiamente riportata nei siti internet citati. Quello che vale la pena di rimarcare è la riflessione sulla natura degli oggetti geometrici e la possibilità di ricondurli a strutture più o meno naturali. Qualcosa cioè che ha un importante valore pedagogico e didattico e che una volta era sottolineato con maggiore vigore come ad esempio in W.W. Sawyer, Preludio alla matematica, Mondadori 1962 : « La geometria proiettiva è una delle parti più belle della matematica elementare….Essa è sorprendente; fa cose che non si sarebbero pensate possibili, e le sviluppa; abbonda di belle impossibilità. In essa le linee parallele si incontrano e c’è un teorema (sufficiente per far dubitare all’uomo medio della sanità dei matematici) che dice che tutti i cerchi hanno due punti in comune ».

Dall’autobiografia di Laurent Schwartz:

Una scoperta matematica è sempre sovversiva

Aforismi pedagogici

Il colore della matematica

Schwartz & Schwarz

Altri riferimenti:

La vita matematica nelle memorie autobiografiche

La Mathesis e de Finetti a favore di Leonid Plioutsch

 

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