Tema: la derivata

L’articolazione della seconda prova d’esame in problemi e quesiti non più adeguata. Ecco allora la proposta di una prova tematica, umanistica e interdiscipinare.

Esame di Stato conclusivo del Liceo Scientifico – indirizzo base e opzione delle scienze applicate.
Esempio di seconda prova scritta.

TEMA: La derivata

Definizione:

La derivata della funzione f rispetto alla variabile  x  è la funzione  f'  il cui valore in x è

f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

se tale limite esiste.

Nota: Nel seguito del testo la derivata è indicata anche con il simbolo  \frac{df}{dx}  [notazione che risale a G.W. Leibniz (1646–1716)]

PRIMA PARTE

  1. Calcolare, applicando la definizione, le derivate di f(x)=senx e  di g(x)=e^{x}
  2. Dare un esempio di funzione non derivabile in un punto.
  3. Teorema: Se f(x) è continua in [a, b] e derivabile in (a, b) , allora esiste almeno un punto c tra a e b tale che f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} .  Posto f(x) = x 2 , a=1 e b=3, calcolare  c ed illustrare geometricamente il risultato. Esaminare il caso in cui risulti f(a) = f(b) e commentare il risultato.
  4. Esiste un legame tra i concetti di derivata e di integrale? Quale?
  5. La potenza P, espressa in watt, di un circuito elettrico è collegata alla resistenza R, espressa in ohm, e alla corrente i (ampere), dalla relazione P=Ri2 .

a) Se nessuna delle tre grandezze P, R, i è costante, quale relazione lega tra loro  \frac{dP}{dt}, \frac{dR}{dt}  e \frac{di}{dt} ?

b) Se P è costante che relazione c’è tra \frac{dR}{dt} e \frac{di}{dt} ?

SECONDA PARTE

Una particella si muove lungo l’asse  con accelerazione data da  a(t)=12t-18  con t>0 . Al tempo  t=1 la velocità della particella è v(1)=0 e la posizione è x(1)=9 .

  1. Scrivere un’espressione per la velocità v(t)  della particella.
  2. Per quale valore di t la particella cambia verso?
  3. Scrivere un’espressione per la posizione x(t) della particella.
  4. Calcolare la distanza complessiva percorsa dalla particella da t=\frac{3}{2}  a  t=6.

 

TERZA PARTE

Sono proposti due brani seguiti da domande alle quali è richiesto di dare una risposta.

  1. La derivata terza del presidente Richard Nixon

«Le parole seguenti sono tratte da un discorso tenuto dal presidente americano Richard Nixon durante la campagna elettorale del 1972: “Il tasso di incremento dell’inflazione è in calo.” Stava usando la derivata terza. Se la funzione che analizziamo definisce i prezzi, la sua derivata indica il tasso di inflazione, la derivata seconda è la rapidità di variazione dell’inflazione e il significato dell’affermazione del presidente Nixon è che la derivata terza della funzione dei prezzi è negativa. Quella fu la prima volta, scrisse il matematico Hugo Rossi in un articolo del 1996, che un presidente usò la derivata terza per essere rieletto». [da: Zvi Artstein, Matematica e Mondo Reale, Bollati Boringhieri, 2017)

Domanda 1: Perché la derivata seconda è la rapidità di variazione dell’inflazione? Spiegare con un esempio.

Domanda 2: Se studiando una funzione si ottiene che la derivata terza in un punto è zero, quale ne è il significato geometrico? Illustrare la risposta con un esempio.

  1. Sulle idee fisiche più importanti introdotte da Galileo

«La prima [idea] fu che una forza agente su un corpo determina non la velocità bensì l’accelerazione. Che cosa significano in realtà i termini “accelerazione” e “velocità”? La velocità di una particella – o di un punto su un qualche corpo – è la rapidità di variazione, rispetto al tempo, della posizione di tale punto. La velocità è considerata di solito una grandezza vettoriale […]. L’accelerazione ( che è anch’essa una quantità vettoriale) è la rapidità di variazione di questa velocità rispetto al tempo: l’accelerazione è quindi la rapidità di variazione della rapidità di variazione di posizione rispetto al tempo! (Gli antichi avrebbero avuto grandi difficoltà ad affrontare queste nozioni, mancando sia di “orologi” adeguati sia delle idee matematiche concernenti le “rapidità di variazione”). Galileo determinò che la forza agente su un corpo (nel suo caso la forza di gravità) controlla l’accelerazione di quel corpo ma non ne controlla direttamente la velocità, diversamente da quanto avevano creduto gli antichi, e in primo luogo Aristotele. In particolare, se non si applicano forze la velocità è costante: perciò in assenza di forze si ha un moto rettilineo uniforme ( che è la prima legge di Newton ). I corpi liberi di muoversi continuano a muoversi di moto rettilineo uniforme e non hanno bisogno di alcuna forza che ne conservi il moto. Una conseguenza delle leggi dinamiche sviluppate da Galileo e da Newton fu in effetti che il moto rettilineo uniforme è fisicamente del tutto indistinguibile dallo stato di quiete (ossia dall’assenza di moto ): non esiste, localmente, alcun modo per distinguere il moto rettilineo uniforme dalla quiete! Galileo fu particolarmente chiaro su questo punto ( addirittura più chiaro di Newton) e fornì una descrizione vivacissima di quest’idea in riferimento ad una nave in mare». [ da: Roger Penrose, La mente nuova dell’imperatore, Rizzoli, 1992].

  1. Commentare il brano spiegando in particolare i riferimenti alle “difficoltà” degli antichi nonchè ad Aristotele.
  2. In che cosa consiste il principio di relatività galileiana? La costanza della velocità della luce contraddice tale principio? Motivare la risposta.

 

ALTRI RIFERIMENTI

E.Ambrisi- P. Ventrone, Prove tematiche per la verifica degli apprendimenti, in PdM 1-2/2019

T. Bindo – P. Ventrone – E. Ambrisi, Le scelte per il prossimo biennio, Matmedia.

A. Del Bene – E. Ambrisi, Perchè e come l’insegnamento della matematica deve cambiare, in Rivista Lasalliana, 2019,2

Altri Esempi di prove tematiche

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