La formula più bella ottenuta dalle rotazioni

La formula più bella della matematica ottenuta partendo dalle rotazioni nel piano.

Il ragionamento che segue conduce alla a partire dal concetto di rotazione e dalla sua denotazione.

Da Bruno de Finetti, Matematica Logico Intuitiva, Edizioni Cremonese, Roma, 1959:

         «Le potenze di i ad esponente intero danno…..le rotazioni di un qualunque numero  di angoli retti; come posizione finale tutte le rotazioni che differiscono per 4 retti o multipli di 4 retti sono tra loro equivalenti e corrispondono quindi a un uguale numero complesso ( essendo esso definito come trasformazione per i vettori, che è sempre la stessa):

Se però pensiamo tale trasformazione realizzata veramente con un movimento continuo di rotazione partendo da una posizione iniziale fissata, possiamo anche immaginare di poter conoscere il numero ( con segno, secondo il senso) dei giri interi compiuti; per fare un esempio intuitivo, se abbiamo un animale al pascolo legato ad un palo, si ha o no la possibilità di rilevare quante volte vi ha girato attorno a seconda che l’attacco è fisso e la cavezza deve avvolgersi intorno al palo, oppure si ha un semplice cappio che può girarvisi liberamente.

Con tale intesa è sempre univocamente definita la rotazione che, ripetuta due ( o tre,…, n,…) volte, dà una rotazione assegnata: è quella di angolo metà (o un terzo…, un n-esimo,…) dell’angolo dato; sarà quindi  rotazione di 45°,  rotazione di 30°,  rotazione di 1°, e in genere ( per x razionale, od anche, per continuità, per x reale qualunque) sarà la rotazione di un angolo la cui misura sarebbe x prendendo come unità di misura l’angolo retto.(…)

Conviene misurare l’angolo mediante la lunghezza  dell’arco di cerchio che esso sottende, riferito al raggio come unità di misura.(…).

Si dice radiante l’angolo uguale ad uno.

[…] La rotazione unitaria ( di un radiante) risulta dunque  indicandola con R ( ma la notazione più appropriata è R =eⁱ ) sarebbe allora R^α la rotazione di un angolo a  qualunque. E sarà al solito R^α R^β =R^α+β come vale in generale  per le potenze di un’operazione e come scende dallo stesso significato: ruotare di un angolo α e poi di un angolo β equivale a ruotare di un angolo α+β; così pure  ( ripetere n volte la rotazione di un angolo a significa eseguire la rotazione di un angolo nα; reciprocamente, la rotazione che ripetuta n volte dà la rotazione di angolo α è quella di angolo  ). 

Nell’ordine di idee specificato due rotazioni differenti di un angolo giro o suoi multipli  sono a considerarsi non uguali ma solo equivalenti, e scriveremo  se ciò avviene , ossia se  α=β+2kπ con k intero ( positivo, nullo o negativo). Importa infatti notare che è solamente per effetto di tale interpretazione che la rotazione   risulta univocamente determinata, perché, se ci limitassimo ad esigere l’equivalenza, ossia l’uguaglianza della posizione finale trascurando i giri interi, oltre ad  avremo .

E si avrebbero allora n rotazioni essenzialmente distinte in corrispondenza agli n  valori k = 0, 1, 2, …, n-1 ( pur trascurando le differenze di giri interi, cioè tenendo conto che per k = n si ha equivalenza con k = 0, ecc.). In particolare, se n = 2, per ottenere una rotazione equivalente ad α si può ripetere due volte non solo la rotazione di ( o qualunque altra equivalente), ma anche tale rotazione più mezzo giro ( o qualunque altra equivalente); per n qualunque, l’osservazione fatta significa che, oltre alla rotazione di  , soddisfa al problema ( in quel senso più largo) anche tale rotazione più un’ennesima parte del giro, o due, tre, …, n-1 di tali frazioni di giro […..].

Si noti …….che ha lo stesso significato della rotazione  salvo che, considerandosi come numero complesso, è , mentre per conveniamo di poter distinguere anche il numero di interi giri. Si ha così  un’altra importante forma per esprimere un numero complesso: essendone r il modulo e α l’argomento si può scriverlo in forma esponenziale (o euleriana, da Eulero, 1707-1783): o addirittura ed è

la relazione fra le tre fondamentali espressioni in forma esponenziale, trigonometrica, cartesiana.

Si noti che  risulta reale positiva se y = 0 ( o 2kπ), reale negativa e y =π  ( o (2k+1)π), puramente immaginaria se , ecc.

Poiché  nel campo complesso la funzione esponenziale è periodica ( periodo immaginario 2πi): assume infatti tutti i valori possibili già in una qualunque striscia orizzontale di larghezza 2π del piano x, y, p. es. in quella compresa fra l’asse reale ( y = 0) e la parallela».