Alcune dimostrazioni della irrazionalità di

Seminario Progetto Pilota Laboratorio a Distanza Matmedia (a cura di Cesare Palmisani)

 1.        Sia (p/q)² = 2 per qualche intero p e q. Allora p² = 2 q²  . Esprimiamo sia p che q come prodotto di potenze di primi. I primi  che compaiono nella fattorizzazione di p sono gli stessi  che figurano nella fattorizzazione di p², solo che in quest’ultimo compaiono due volte: ad esempio sia p = 3x5x7, allora p² = 3 x 3 x 5 x 5 x 7 x 7. Pertanto p² ha un numero pari di numeri primi. Così anche q². Pertanto 2q² ha un numero dispari di fattori primi : ad esempio q² = 3x3x11x11x13x13 (6 fattori primi) , da cui 2q²= 2x3x3x11x11x13x13 ( sono 7 fattori primi). Contraddizione : p² e q² devono avere lo stesso numero di fattori primi.

 2.        Assumiamo  che p e q siano primi fra loro. Allora anche i loro quadrati sono primi fra loro perché sono stati costruiti con gli stessi fattori. Pertanto la frazione p² /q²  non può essere semplificata. In particolare non può essere ridotta a 2. Quindi p² /q² ¹ 2.

 3. Richard Beigel (1)

Sia x = k^1/2 ed assumiamo x razionale ma non intero. Allora esiste un intero positivo n minimale tale che xⁿ sia un intero. Consideriamo m = n(x-[x]), avendo indicato con [x] il pavimento di x. Essendo 0 £ x – [x] < 1, è m < n. Osserviamo che anche m = nx – n[x] è un intero in quanto differenza di interi. Inoltre anche mx = nx2 – (nx)[x] = nk – (nx)[x] è un intero. Ma tra tutti gli interi positivi che moltiplicati per x danno un intero n è il più piccolo, quindi m = 0. Allora x = [x] e quindi è un intero, in contraddizione con l’ipotesi fatta.

4.         L’argomentazione di Richard Beigel può essere modificata con il ricorso ad una regressione infinita che per gli interi positivi non è ammissibile. Assumiamo x razionale. Allora esiste un intero n tale che nx è ancora un intero. Come prima, possiamo trovare un intero m minore di n con la stessa proprietà di n. Non può essere mx = 0 perché x sarebbe intero e non razionale. D’altra parte, applicando lo stesso ragionamento ad m e così via, si trova un insieme infinito di interi che non possiedono minimo, il che è impossibile.

5.     E. Barbin (2)

Alla precedente dimostrazione può essere data una interpretazione geometrica
Se x = 2^1/2  fosse razionale allora esisterebbe una quantità s commensurabile sia con 1 che con x : 1 = sn e x = sm. ( x = m/n e s = 1/n). La stessa cosa sarebbe vera per la loro differenza x-1, che sarebbe più piccola di x. Tale procedimento potrebbe continuare indefinitamente in contraddizione con l’esistenza di un elemento minimo.

   6.     Lucio Lombardo Radice (3)

Nessuna frazione ha per quadrato 2(√2 è un numero irrazionale)

Supponiamo che esista una frazione, di numeratore m e denominatore n, la quale abbia per quadrato il numero 2. Le lettere m e n indicano due numeri interi: possiamo pensare i numeri interi m e n primi tra di loro, perché se  avessero un fattore comune potremmo sempre eliminarlo, dividendo per esso tanto il numeratore m quanto il denominatore n (per esempio, se m =14, n = 10, al loro posto possiamo mettere i due numeri 7 e 5, ottenuti da essi eliminando il fattore comune 2, e ciò perché : 14/10 = 7/5). Dovrebbe essere, dunque :
(m/n)² = 2, cioè :
m²/n² = 2, cioè ancora: m² = 2n².
m e n essendo primi tra di loro, non possono essere tutti e due pari.
Sono allora possibili tre casi:
1)  m è dispari, n è pure dispari;
2) m è dispari, n è pari;
3) m è pari, n è dispari.

Facciamo vedere che tutti e tre i casi possibili sono invece impossibili.

Il caso 1) è da escludere. Infatti, se m e n sono dispari, sono dispari anche m² e n² (il quadrato di un numero contiene gli stessi fattori del numero, ripetuto ciascuno due volte; se un numero non è divisibile per 2, non lo è neppure il suo quadrato). Ma il doppio di n², cioè 2 n², è pari, e non può essere uguale al numero dispari m²:
m²¹ 2 n²

Il caso 2) è impossibile. Infatti, se m è dispari, m² è dispari, come prima … e più di prima, 2n² è pari(già n² è pari) . Si ha ancora:
m²¹ 2 n².

Infine, anche il caso 3) non sipuò verificare. Infatti, se m è pari, è divisibile almeno per 2 (forse anche per una potenza di 2), e perciò il suo quadrato è divisibile almeno per 2 x 2 = 4. Se n è dispari, n² è pure dispari, 2 n² è divisibile solo per 2,  e non per 4; perciò:
m²¹ 2 n²,

perché il primo numero è divisibile per 4, il secondo no. …

   7.     Herbert Meschkoski(4)

     L’autore, cita un passo delle Leggi (819-820) di Platone in cui l’Ateniese parla della ignoranza ” ridicola e vergognosa che è insita per natura in tutti gli uomini”, e confessa:

 “O mio caro Clinia, appresi tardi anch’io qual è la nostra condizione a tal riguardo, e ne fui colpito: m’è parso ch’essa fosse non già propria degli uomini, ma piuttosto di branchi di maiali, e n’ebbi vergogna non per me solamente, ma anche per tutti i Greci”.  

 “Ebbene, non pensiamo che tutti noi Greci che lunghezza e larghezza sono in certa guisa commensurabili con la profondità, e lunghezza e larghezza fra di loro ?”

CLINIA. Proprio così.

ATENIESE. Ma se esse non sono assolutamente commensurabili, e tutti i Greci, come dicevo, pensano che lo sono, non è giusto che provi vergogna per essi tutti, e si dica loro: Ottimi Greci, questa è una di quelle cose delle quali dicevamo che è vergognoso ignorarle, mentre non è affatto un pregio il conoscere ciò che è necessario ?  

Nel linguaggio della matematica moderna, Platone attribuisce grande importanza alla consapevolezza della esistenza di segmenti incommensurabili.  

Due segmenti a e b si definiscono commensurabili se esiste un segmento e tale che a = m e e b = n e, dove m e n sono numeri interi; incommensurabili in caso contrario.  

 Il lato e la diagonale di un quadrato sono incommensurabili.

 Dimostrazione.

Se il lato a e la diagonale d di un quadrato fossero commensurabili, esisterebbe un segmento e tale che a = ne e d = me , con n ed m interi opportuni. Per il Teorema di Pitagora

m² = 2 n²          (1)

Possiamo supporre che m ed n siano primi fra loro e quindi non sono entrambi pari. Per la (1), m dovrebbe essere pari, e quindi m² è divisibile per 4. Inoltre 2n² è divisibile per 2 ma non per 4 perché n è dispari. Questa è una contraddizione.

Dimostrazione geometrica (indiretta) della incommensurabilità del lato e della diagonale di un quadrato.  

 Supponiamo che vi sia una misura comune per il lato a e la diagonale d di un dato quadrato Q₁; sia a = m e e b = n e (2).

Riportiamo il lato CA =a sulla diagonale : CD = CA = a. La perpendicolare a BC in D incontri il lato Ab in E. Allora il triangolo BED è rettangolo isoscele (perché gli angoli in E e in B sono la metà di un angolo retto; quindi si ha BD = ED (=a₁) . In luogo di EB, scriveremo d₁. Tale segmento è la diagonale del quadrato BDEF (che è originato dal ribaltamento del triangolo EBD intorno a EB). Dalla (2) segue : a₁ = d – a = (n – m) e= m₁ e  e d = a – a₁ = (2m -n) e = n₁ e. (3).

  Poiché a₁ < a e d₁ < d, per i numeri interi m₁ e n₁ si ha : m₁ < m,  n₁ < n   (4).

Ma a₁ e d₁ sono il lato e la diagonale di un quadrato più piccolo, Q₂.  Anche il lato e la diagonale di Q₂ hanno e come misura comune. Partendo da questo quadrato Q₂ si può pervenire ad un altro quadrato Q₃; riportando il lato sulla diagonale, … . Si ottiene così il quadrato Q₃ di vertici B, G, I, H. Il ragionamento si può proseguire a piacere e si ottiene una successione infinita di quadrati con lati sempre più piccoli : Q₁, Q₂, Q₃, … : i lati dei quadrati di indice dispari sono sempre paralleli a quelli di Q₁, quelli dei quadrati con indice pari a quelli di Q₂. Inoltre e è misura comune per lato e diagonale  di tutti i quadrati sopra generati. Ma i numeri che esprimono le misure (rispetto a e) divengono sempre più piccoli nel pasaggio da Q_n a Q_n+1 . Poiché m e n e tutti gli altri numeri m_n  e n_n  che esprimono le misure dei lati rispetto ad e debbono essere tutti interi positivi, questa è una contraddizione. Dopo un numero finito di passi si perverrebbe allo 0, come numero esprimente la misura comune rispetto ad e, mentre il processo che genera i quadrati sempre più piccoli può essere proseguito indefinitamente.  

• La generazione di Platone deve il suo sapere matematico in gran misura ai pitagorici.
• Questo ordine religioso si occupava anche di problemi che oggi noi diremmo scientifici
• I pitagorici hanno riconosciuto l’importanza del numero intero per la descrizione dei fenomeni fisici (ad esempio il rapporto tra musica e numero, sulle della corda vibrante).
• I pitagorici dissero : “tutto è numero”, generalizzando in modo indebito i risultati acquisiti.
• Per i sostenitori di tale dottrina, doveva essere assai stupefacente l’idea che la geometria offre un semplice esempio nel quale non vale la legge del numero intero.
• L’uomo che aveva con leggerezza divulgata la fastidiosa veduta dell’esistenza di segmenti incommensurabili era morto in un naufragio: una punizione degli dei ! (uno “”scolio” al decimo libro di Euclide)

 8.     Ivan Niven (5)

Sappiamo che i numeri interi pari sono chiusi rispetto alla moltplicazione e così pure i numeri dispari: in particolare il quadrato di un numero pari è pari e il quadrato di un numero dispari è dispari.

Supponiamo che Ö2 sia razionale; si può allora scrivere  Ö2 = a/b, con a e b interi. Facciamo l’ulteriore ipotesi che a/b sia ridotta ai minimi termini; e quindi non possono essere entrambi pari : se lo fossero la frazione a/b sarebbe riducibile.

 Elevando ambo i membri della precedente uguaglianza e riducendo in forma intera si ottiene :

2 = a²/b², a² = 2 b².

 Essendo 2 b² un intero pari, anche a² è pari e quindi è un intero pari anche a; allora si può scrivere a 0 2c, dove c è un numero intero. Ponendo 2c al posto di di a nell’uguaglianza

a² = 2 b², si ha :

(2c)² = 2 b²,   4 c² = 2 b², 2c² = b².

 Ed essendo 2c² un intero pari, anche b² è un intero pari e quindi è un intero pari anche b. Siamo così giunti alla conclusione che a e b sono interi entrambi pari, mentre per ipotesi, la frazione a/b è ridotta aiminimi termini: tale conclusione è assurda.

 9.     Alexander Bogomolny [ http://Cut – the -knot. com]

   Un numero irrazionale elevato ad un numero irrazionale può essere razionale.  Si tratta di trovare due irrazionali r ed s tali che r^s è razionale. Sia b = Ö2 . Come è noto, b è irrazionale.     In particolare, b è reale e anche positivo. Allora b^b è anche reale. Ciò significa che esso o è razionale o irrazionale.

Se è razionale, il problema si risolve ponendo r = b ed s = b.Assumiamo che b^b sia irrazionale. Sia r = b^b ed s = b. Allora r^s = (b^b)^b = b^b2 = b² =2. Che è chiaramente razionale.

Bibliografia

(1) Richard Beigel, Irrazionality Without Number Theory, Am.Math.Montthly, 1990 – riferimento bibliografico trovato sul sito Cut-the-knot 

(2) E.Barbin, The Meanings of Mathematical Prooof, Eves’Circle, J.M.Anthony, ed.,MAA, 1994

(3) Lucio Lombardo Radice, La Matematica da Pitagora a Newton, Editori Riuniti, 1992 (II edizione) , pag. 104-106

(4) Herbert Meschkoski, Mutamenti Nel Pensiero Matematico, Boringhieri (1973) pag. 22-26 (l’opera originale è del 1960 ed è stata tradotta proprio da Lucio Lombardo Radice)

(5) Ivan Niven, Numeri razionali e numeri irrazionali, Zanichelli1965, pag. 54