Ampliamento algebrico

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Ampliamento algebrico

L'Ampliamento algebrico (da CHE COS’E’ LA MATEMATICA?  di Richard Courant e H. Robbins- Boringhieri- Torino)  (…) Allora, conformemente a quanto


L’Ampliamento algebrico

(da CHE COS’E’ LA MATEMATICA?  di Richard Courant e H. Robbins- Boringhieri- Torino)

 (…) Allora, conformemente a quanto si è visto nel §1, potremo costruire con riga e compasso quei numeri che si possono ottenere dall’unità mediante le operazioni razionali di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione, cioè tutti i numeri razionali r/s, in cui r e s sono numeri interi. Il sistema dei numeri razionali è ‘chiuso’ rispetto alle operazioni razionali; cioè la somma, la differenza, il prodotto o il quoziente di due numeri razionali qualsiasi- esclusa, al solito, la divisione per lo zero- sono ancora numeri razionali. Ogni classe di numeri che gode di questa proprietà rispetto alle quattro operazioni razionali si dice un campo di numeri.(…)

Partendo dall’unità possiamo così costruire l’intero campo dei numeri razionali e quindi tutti i punti razionali ( aventi cioè entrambe le coordinate razionali) nel piano x,y. Possiamo ottenere nuovi numeri, gli irrazionali, usando il compasso. Per costruire ad esempio , che, come sappiamo (…) non appartiene al campo dei numeri razionali. Una volta costruita  , possiamo, mediante le costruzioni razionali del § 1, ottenere tutti i numeri della forma

dove a, b sono numeri razionali e perciò costruibili. Analogamente possiamo costruire tutti i numeri della forma

dove a, b, c, d sono numeri razionali. Questi numeri, del resto, possono essere scritti nella forma (1). Si ha infatti:

  dove p, q sono numeri razionali. ( Il denominatore non può essere zero, perché se fosse allora si avrebbe  mentre invece  è un numero irrazionale). Analogamente

 

dove r, s sono numeri razionali. Quindi tutto ciò che si può ottenere con la costruzione di  è la classe dei numeri della forma (1), con a, b numeri razionali arbitrari.

Come si vede dal ragionamento precedente, questi numeri (1) formano di nuovo un campo.[ E’ ovvio che la somma e la differenza di due numeri della forma (1) sono anch’essi numeri della forma (1)]. Questo campo è più vasto del campo dei numeri razionali, che è una parte o sottocampo di esso; ma, naturalmente, esso è meno vasto del campo di tutti i numeri reali. Indichiamo con il campo dei numeri razionali e con  il nuovo campo dei numeri della forma (1). Abbiamo già stabilito che ogni numero del ‘campo esteso’  è costruibile. Possiamo ora estendere il dominio delle nostre costruzioni, prendendo per esempio un numero di , supponiamo k = 1+ , ed estraendone la radice quadrata, ottenendo così il numero costruibile

e insieme con esso, in base al §1, il campo formato da tutti i numeri

 

dove ora p e q possono essere numeri arbitrari di , cioè numeri della forma   con a, b appartenenti a  e quindi razionali.  

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