Ancora sul metodo di Tartinville: la discussione dei problemi di algebra applicata alla geometria e il confronto fra i metodi.
L’articolo del prof. Luigi Verolino sul Metodo di Tartinville, apparso recentemente su Matmedia, ha suscitato una certa curiosità nei Social. Nei commenti è stata avviata una discussione dai toni nostalgici ma a volte anche critici, da parte di coloro che avevano affrontato l’argomento nella veste di docente o di studente. I lettori più giovani non avevano avuto occasione di conoscerlo. In molti, si sono chiesti il motivo di tanta attenzione verso questo argomento ritenuto ormai obsoleto.
È noto che qualsiasi “metodo” è un atto creativo per chi l’inventa ma rischia di diventare puro tecnicismo per chi l’impara. Può essere interessante, pertanto, riflettere brevemente sui motivi per cui, quello che era inizialmente uno dei capisaldi dei percorsi didattici del liceo scientifico, è diventato in seguito oggetto di critica e abbia subito, addirittura, una sorta di demonizzazione.
Il nome di Tartinville viene automaticamente associato al giudizio di Bruno de Finetti nel suo famoso articolo “Come liberare l’Italia dal morbo della trinomite” (Periodico di Matematiche- Serie quarta N.4-1965).
La critica severa, dai toni sarcastici, era rivolta soprattutto ai testi delle prove scritte di matematica per la maturità scientifica.
Le prove, giudicate ripetitive e poco stimolanti, non solo erano inadeguate ad accertare la preparazione globale e le capacità critiche del candidato, ma impoverivano, di riflesso, i criteri dell’insegnamento scolastico il cui scopo, alla fine, parafrasando Seneca, non era la vita ma neppure la scuola.
«…. Da tempo immemorabile (almeno da decenni) avviene precisamente che questa famigerata prova scritta ripeta con qualche variante sempre lo stesso problema stereotipato (equazione di secondo grado, o «trinomia», con un parametro: da ciò il termine di «trinomite» per indicare l’eccessiva insistenza su questo solo particolare argomento): problema che ha soprattutto la disgrazia di poter essere ridotto a uno schema macchinale, formale, pedestre, che va sotto il nome di un certo Tartinville. …».
L’intervento di de Finetti va contestualizzato nel dibattito che, negli anni ’60 e ’70 del secolo scorso, impegnò la comunità matematica italiana nel rinnovamento e potenziamento dell’insegnamento della matematica, con proposte in ambito curriculare e in ambito metodologico.
I criteri tradizionali obbedivano più che altro a una prassi didattica collaudata e a un lento, ma progressivo rinnovamento dovuto a sperimentazioni isolate.
Restavano in vigore, almeno sulla carta, i programmi d’esame del 1945, anche se nel 1959 il ministro Medici aveva emanato un decreto per gli esami di Stato in cui fissava i principali argomenti che potevano essere oggetto della prova orale.
Per il quinto anno del liceo scientifico quei programmi prevedevano i seguenti argomenti:
Classe V: Massimi e minimi con il metodo delle derivate, applicazioni. Nozione di integrale con qualche applicazione. Disposizioni, permutazioni e combinazioni semplici. Binomio di Newton. Nelle ultime quattro classi: applicazioni dell’algebra alla geometria di primo e secondo grado con relativa discussione.
L’ultima frase potrebbe spiegare perché il problema geometrico con discussione è stato considerato per moltissimi anni uno dei più importanti traguardi d’apprendimento per lo studente del liceo scientifico.
Un traguardo, da raggiungere nel corso del quinquennio, che compendia abilità e competenze algebriche, geometriche e trigonometriche, ma può coinvolgere anche la ricerca dei massimi o minimi. Non è escluso, infatti, che un problema con discussione non sia in effetti un problema di ottimizzazione, da risolvere col metodo delle derivate o per via elementare.
Va osservato, peraltro, che anche nel decreto Medici erano menzionati “le equazioni parametriche; confronto delle radici con uno o due numeri dati, applicazioni dell’algebra alla geometria”.
Il problema geometrico con discussione
Mentre nel biennio lo studente imparava a impostare, formalizzare e poi risolvere un problema geometrico, nel triennio si passava a un livello di competenza più alto: assegnato un problema in cui alcuni dati erano dipendenti da uno o più parametri, lo studente deve determinare per quali valori del parametro (o per quali relazioni tra i parametri) il problema ammette soluzioni e quante ne ammette.
La prima parte (formalizzazione del problema, scelta delle incognite e definizione dei vincoli) era considerata la parte più creativa; richiedeva conoscenze geometriche adeguate ma anche capacità logiche e intuitive.
La seconda parte, la discussione, richiamava quasi tutte le proprietà delle equazioni e delle disequazioni algebriche, la loro risoluzione, le questioni riguardanti il segno del trinomio di secondo grado.
Sostanzialmente, l’impostazione del problema doveva portare al cosiddetto sistema misto, costituito da una equazione di secondo grado parametrica, le cui radici devono soddisfare alcune condizioni del tipo:
x ≤ α oppure x ≥ α oppure α ≤ x ≤ β
In alternativa al confronto diretto sono stati proposti alcuni «metodi» standard che servivano a pianificare le procedure, agevolare i ragionamenti, effettuare i controlli dei calcoli.
Il metodo di Tartinville, una sorta di generalizzazione del metodo di Cartesio per la discussione del segno delle radici, sfruttava i teoremi relativi al confronto delle radici (reali) di un’equazione di secondo grado, con due numeri assegnati. Era considerato esauriente per una trattazione razionale della discussione e abbastanza chiaro nei singoli passaggi . La sua valenza didattica era unanimemente riconosciuta ma, purtroppo, spesso gli studenti si limitavano a usare le regole in modo meccanico e acritico.
Per praticità veniva suggerito allo studente uno schema grafico che alla fine oscurava l’apparato concettuale che stava alla base. Inoltre, l’abitudine a un insegnamento trasmissivo, ha il più delle volte impedito che lo studente potesse costruire da solo l’algoritmo, in modo personalizzato.
Fiorentino Sullo (1921 – 2000) con la moglie
Le proposte avanzate dai gruppi di lavoro, ricordiamo in proposito i cosiddetti Programmi di Frascati della Commissione de Finetti, non ebbero immediato riscontro in ambito istituzionale ma sensibilizzarono la comunità scolastica e contribuirono a un rinnovamento in campo editoriale.
I percorsi didattici si orientarono verso nuovi obiettivi: varietà di approcci allo studio della geometria, elementi di calcolo delle probabilità e statistica, insegnamento per problemi legati alla realtà.
Il problema di applicazione dell’algebra alla geometria era sempre presente. Cominciarono però a imporsi i metodi grafici per le discussioni.
La riforma dell’esame di Stato del ministro Fiorentino Sullo (1969) segnò una svolta per le tipologie dei quesiti delle prove scritte di matematica. I problemi diventarono più complessi e i contenuti più vari, anche per compensare l’abolizione della prova orale.
Lo schema di Tartinville non sparì subito dalle lavagne di ardesia, né dai testi scolastici, nei quali però veniva accompagnato da una sorta di avvertenze sui rischi dell’apprendimento meccanico, con l’invito a giustificare sempre, logicamente, i passaggi.
Non si trattava della solita resistenza al cambiamento, ma piuttosto di un abito mentale: il metodo grafico, sicuramente più agevole e intuitivo, non sembrava rispondere ai criteri di applicabilità e rigore che venivano riconosciuti al metodo di Tartinville.
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