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Aritmetica senza frontiere

Ancora sul numero 9. Somme curiose e interessanti in un problema di aritmetica per tutti, senza frontiere.

Qualche anno fa, nella competizione 2017, tra le prove junior di Matematica Senza Frontiere, figurava il seguente quesito:

Il biglietto cinematografico

Massimiliano lancia una sfida a Clemente dicendogli: « Se nell’addizione 1+2+3+4+5+6+7+8+9 si toglie un segno + e tu ottieni come somma un numero che non è multiplo di 9, io t’invito al cinema, altrimenti sarai tu ad invitarmi». Poi, per aiutarlo gli cita questo esempio « Se si toglie il segno + scritto in evidenza nella somma 1+2+3+4+5  +  6+7+8+9 si ottiene: 1+2+3+4+56+7+8+9=90 ». Massimiliano è sicuro di essere invitato al cinema? Giustificate la vostra risposta.

La risposta è Sì, Massimiliano è sicuro di essere invitato al cinema da Clemente, poiché quest’ultimo non riuscirà a ottenere una somma che non sia multipla di 9.

Come si ottiene questa risposta?

Effettuando forse tutte le possibili verifiche per controllare che tutte le possibili somme sono multiple di 9?

Prima di rispondere, approfitto per generalizzare la questione.

Cancellando dunque un segno + nella somma 1+2+3+4+5+6+7+8+9 si ottiene sempre un numero che è multiplo di 9.

Ma questo accade anche se si considera la somma 9+8+7+6+5+4+3+2+1.

Di più. Accade ancora se si cancellano, sia nella somma di valori crescenti sia in quella di valori decrescenti, due o più segni + consecutivi, come nei seguenti esempi:

1+234+5+6+7+8+9,    1+2+3+4567+8+9,    1+234567+8+9,    9876+5+4+3+2+1,   9+8+76543+2+1.

E, cosa più straordinaria, accade ancora se vengono sommati numeri formati da una o più cifre, prendendole come si vuole dalle 9 cifre considerate, a condizione che tutte le 9 cifre vengano coinvolte e ogni cifra lo sia una ed una sola volta, come nei seguenti esempi:

134+259+678,    197+8452+63,     91+23+7468+5.

Ora, nessuno sano di mente può pensare che le affermazioni precedenti siano il frutto di una verifica di tutti i possibili casi che si presentano.

Su quale base allora sono state fatte quelle affermazioni?

Ebbene, la risposta è molto più semplice di quanto si possa immaginare.

Vediamola.

Ricordo che, per stabilire se un dato numero è multiplo di 9 o se non lo è, basta ricorrere al criterio di divisibilità per 9: un numero è divisibile per 9 se lo è la somma delle sue cifre.

Ora, qualunque somma si consideri nelle situazioni che abbiamo preso in esame, la somma delle cifre coinvolte è sempre e comunque la somma delle 9 cifre da 1 a 9 e questa somma è uguale a 45, che è per l’appunto un multiplo di 9, per cui anche ogni somma considerata è multipla di 9.

Semplice, no?

 

Autore

  • Antonino Giambò

    Laureato in matematica presso l'Università di Messina. Ha insegnato matematica e fisica nei licei. Dal 1985 Dirigente superiore per i servizi ispettivi del MPI è stato responsabile della Struttura Tecnica Esami di Stato per il settore matematico e fisico. Ha tenuto corsi all'università e conferenze in numerosi convegni. È autore di saggi e libri di testo.

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