Brachistocrone e tautocrone. Le due curve hanno la stessa forma: sono entrambe cicloidi.

(Si è fatto riferimento al testo: Analisi Matematica di George B. Thomas, Ross L. Finney, Zanichelli, 1986)

I fratelli  Giovanni e Giacomo Bernoulli furono amichevoli rivali e si stimolarono con problemi matematici sotto  forma di sfide.

Tra questi le curve brachistocrone e tautocrone. Ecco il problema della brachistocrona:

tra tutte le curve regolari che congiungono due punti dati, trovare quella lungo la quale un grave, per esempio una perlina, soggetto unicamente alla forza di gravità, potrebbe discendere nel più breve tempo possibile.

Due punti, contrassegnati con P₀  e P₁  giacciono in un piano verticale, rispettivamente nell’origine e in (x₁, y₁). Si può formulare il problema in termini matematici come segue. L’energia cinetica del grave ( assimilabile a un punto materiale  ) nel punto di partenza è nulla, poiché è nulla la sua velocità. Il lavoro compiuto dalla forza di gravità nello spostare il punto materiale dal punto (0,0) a qualunque punto (x, y)  è mgy e questo lavoro deve essere uguale alla variazione dell’energia cinetica del punto materiale; cioè:

  Perciò, la velocità  

che il punto materiale ha quando raggiunge P(x,y) è

Cioè,

L’intervallo di tempo t₁  che il punto materiale impiega per discendere da P₀ a P₁ dipende dalla particolare curva y = f(x) lungo la quale si muove ed è dato da

Il problema è trovare la curva che passa per i punti P₀ (0,0) e P₁ (x₁, y₁) e minimizza il valore dell’integrale indicato nella (1).  Il termine brachistocrona è composto dalle parole greche brachistos = il più breve e chronos = tempo e significa il “tempo più breve”.

A prima vista, si potrebbe congetturare che la retta congiungente P₀  e P₁ dia anche il più breve intervallo di tempo. Ma basta riflettere un momento per mettere in dubbio questa congettura poiché si potrebbe  guadagnare un certo intervallo di tempo facendo sì che il punto materiale cominci a cadere verticalmente all’inizio, aumentando così la sua velocità più rapidamente di quanto potrebbe fare  se dovesse discendere lungo una traiettoria inclinata.

Con questa maggiore velocità, il punto materiale può riuscire a percorrere  un cammino più lungo raggiungendo P₁ in un intervallo di tempo più breve. La risoluzione di questo problema è alquanto laboriosa. Ma la brachistocrona è in realtà un arco di cicloide passante per P₀  e P₁  e   avente una cuspide nell’origine.

Scrivendo l’equazione (1) nella forma equivalente

e sostituendo le equazioni della cicloide nell’equazione precedente, si ottiene

come intervallo di tempo che il punto materiale impiega per discendere da P₀  e P₁ . L’intervallo di tempo impiegato dal punto materiale per raggiungere l’estremo inferiore dell’arco si ottiene ponendo 

E’ un fatto notevole che l’intervallo di tempo impiegato dal punto materiale per discendere lungo la cicloide da (0,0) al punto più basso (aπ, 2a) è uguale all’intervallo di tempo che il punto materiale impiega, partendo dalla quiete, per discendere da qualunque punto intermedio dell’arco, per esempio da  , a (aπ, 2a). In questo caso, la velocità in P(x,y) è

e l’intervallo di tempo impiegato è

Poiché il risultato è indipendente dal valore ciò significa che il punto materiale impiega lo stesso intervallo di tempo per raggiungere il più basso punto della cicloide, qualunque sia il punto dell’arco da cui viene abbandonato a se stesso dalla quiete.[…]. In questo senso, la cicloide è anche tautocrona ( dal greco tauto = lo stesso e chronos = tempo) oltre a essere una brachistocrona.

Altro riferimento su brachstocrone e tautocrone:mathworld.wolfram.com