Matematica 2025: Cicerone, il colpo di Venere e il Teorema di Bayes
Dall’antico scetticismo romano alla moderna inferenza statistica: dal quesito 7 possibile un dialogo filosofia, probabilità e didattica.
«Dunque può accadere ciò che poco fa negavi: che il caso imiti la realtà.»
— Cicerone, De divinatione, II, 21, 48
Il quesito 7, della sessione ordinaria dell’esame di Stato 2025, costruisce un esercizio di Calcolo delle Probabilità a partire da un brano di Cicerone, tratto dal De divinatione.
Nel brano si fa riferimento al gioco d’azzardo (lancio di un dado a 4 facce) e a un risultato notevole, denominato “colpo di Venere”.
QUESITO 7
Siccome mi sembrava che per puro caso alcuni fatti fossero avvenuti così com’erano stati predetti dagl’indovini, tu hai parlato a lungo del caso, e hai detto, per esempio, che si può ottenere il “colpo di Venere” lanciando a caso quattro dadi […].
— Cicerone, De divinatione, II, 21, 48 – traduzione e cura di S. Timpanaro, Garzanti, Milano 1999.
Testo originale – Nam cum mihi quaedam casu viderentur sic evenire ut praedicta essent a divinantibus, dixisti multa de casu, ut Venerium iaci posse casu quattuor talis iactis […].
Cicerone, nel dialogo con il fratello Quinto, parla del colpo di Venere, che consiste nel lanciare 4 dadi a 4 facce ottenendo 4 risultati diversi. Supponendo che le facce di ciascun dado siano equiprobabili, determinare:
- la probabilità di ottenere il colpo di Venere nel lancio di 4 dadi;
- la probabilità di ottenere 4 numeri tutti uguali.
SOLUZIONE
Indichiamo con \( XXXX, XXXY, XXYY, XXYZ, XYZW \) i 5 esiti attesi.
I casi possibili sono \( 4^4 = 256 \). I casi favorevoli, per ciascuna configurazione, sono rispettivamente:
- \( C_{4,1} = 4 \)
- \( 2 \cdot C_{4,2} \cdot \frac{4!}{3!} = 48 \)
- \( C_{4,2} \cdot \frac{4!}{2!2!} = 36 \)
- \( 3 \cdot C_{4,3} \cdot \frac{4!}{2!} = 144 \)
- \( 4! = 24 \)
In particolare, la probabilità di ottenere il colpo di Venere è:
\[
\frac{24}{256} = \frac{3}{32}
\]
Non rappresenta il caso meno probabile ma forse, in assenza di un concetto quantitativo di probabilità, era considerato di buon auspicio per la sua configurazione priva di “sorprese”, in cui erano presenti tutti e 4 i numeri che caratterizzavano le facce del dado.
Al di là della curiosità storica e dell’interesse dal punto di vista didattico, la lettura del brano completo suggerisce un confronto fra il concetto intuitivo di probabilità del pensiero antico e i metodi della Statistica moderna.
«Siccome mi sembrava che per puro caso alcuni fatti fossero avvenuti così com'erano stati predetti dagl'indovini, tu hai parlato a lungo del caso, e hai detto, per esempio, che si può ottenere il "colpo di Venere" lanciando a caso quattro dadi, ma, su quattrocento lanci, non può capitare cento volte quel colpo. Innanzi tutto non saprei perché ciò sia impossibile, ma su questo non mi soffermo a discutere, poiché hai una collezione di esempi simili. Puoi citare i colori schizzati a caso, il grifo della scrofa, tante altre cose. Dici che Carneade ricorre anch'egli al caso quanto alla testa del piccolo Pan: come se ciò non sia potuto davvero accadere per caso, e sia necessario che in ogni blocco di marmo non siano ascose perfino teste degne di un Prassitele! Quelle sculture, difatti, si eseguono anch'esse con l'eliminare pezzi di marmo, e nemmeno un Prassitele vi aggiunge alcunché; ma quando molto materiale è stato eliminato dallo scalpello e si è arrivati ai lineamenti di un volto, allora si può capire che quella statua, ormai perfettamente levigata, si trovava dentro il blocco. Dunque qualcosa del genere può essere avvenuto anche spontaneamente nelle cave di pietra di Chio. Ma ammettiamo pure che questo sia un esempio inventato: non hai mai visto nubi che avevano assunto le forme di leoni o di Ippocentauri? Dunque può accadere ciò che poco fa negavi: che il caso imiti la realtà..»
Osserviamo che il dialogo tra Cicerone e suo fratello Quinto riflette due possibili atteggiamenti, tuttora riconoscibili, nei confronti del verificarsi di un evento considerato «raro» o comunque poco probabile.
C’è chi crede fermamente che il risultato sia frutto del caso e chi, invece, sostiene l’esistenza di una precisa causa o di un intervento divino.
Questi due atteggiamenti acquistano un carattere scientifico nella teoria delle variabili aleatorie e prendono il nome di “Ipotesi nulla” e “Ipotesi alternativa”.
Quinto è convinto che un evento raro, come il colpo di Venere, non possa verificarsi 100 volte su 400 prove solo per effetto del caso. Cicerone non lo esclude ma, non avendo argomenti per sostenerlo, da ottimo retore qual era, cambia discorso fornendo alcuni esempi in cui «il caso imita la realtà».
Il dialogo può essere interpretato come un problema di “verifica delle ipotesi” in ambito statistico e il punto di vista dei due interlocutori può essere definito bayesiano.
Indichiamo con \( H_0 \) l’ipotesi nulla: il risultato “E” è solo frutto del caso.
Indichiamo con \( H_1 \) l’ipotesi alternativa: il risultato “E” è dovuto ad una causa soprannaturale.
A ciascuna ipotesi si può assegnare una probabilità, \( P(H_0) \) e \( P(H_1) \), rispettivamente.
La probabilità totale dell’evento \( E \), tenendo conto di entrambe le ipotesi, si può determinare mediante un diagramma ad albero.
Le probabilità \( P(H_0) \) e \( P(H_1) \) sono chiamate probabilità “a priori” poiché indicano il grado di fiducia che l’osservatore attribuisce a ciascuna ipotesi, prima che l’evento si verifichi.
Le probabilità \( P(E|A_i) \) sono chiamate verosimiglianze; \( P(A_i|E) \) sono le probabilità a posteriori.
Il verificarsi dell’evento \( E \) potrebbe modificare le probabilità “a priori”, secondo il Teorema di Bayes:
\[
P(H_0|E) = \frac{P(H_0) \cdot P(E|H_0)}{P(E)} \qquad
P(H_1|E) = \frac{P(H_1) \cdot P(E|H_1)}{P(E)}
\]
da cui:
\[
\frac{P(H_1|E)}{P(H_0|E)} = \frac{P(H_1)}{P(H_0)} \cdot \frac{P(E|H_1)}{P(E|H_0)}
\]
Il rapporto delle probabilità “a priori” viene moltiplicato per \( \frac{P(E|H_1)}{P(E|H_0)} \) (fattore di Bayes) ma continua ad avere un peso nel calcolo del rapporto delle probabilità “a posteriori”.
L’evidenza dei fatti è sempre condizionata dai convincimenti a priori circa le ipotesi.
Tornando all’esempio del colpo di Venere, osserviamo che, la variabile aleatoria
\( X = \{\text{numero di successi in } n \text{ prove} \} \)
ha una distribuzione binomiale.
Per l’evento
\( E = \{\text{è stato ottenuto il colpo di Venere 100 volte in 400 prove} \} \)
fornisce un valore bassissimo di probabilità:
\[
P_0 = \binom{n}{k} p^k q^{n-k} \approx 5 \cdot 10^{-20}
\quad \text{se} \quad n = 400, \, k = 100, \, p = \frac{3}{32}, \, q = \frac{29}{32}
\]
Sia \( H_0 \) l’ipotesi nulla (l’evento E è regolato dal caso) e \( H_1 \) l’ipotesi alternativa (al verificarsi dell’evento E contribuisce una causa soprannaturale). Sia, ad esempio:
\[
P(E|H_1) = 1, \quad P(E|H_0) = P_0
\]
Il fattore di Bayes è:
\[
\frac{P(H_1|E)}{P(H_0|E)} = \frac{P(H_1)}{P(H_0)} \cdot \frac{1}{P_0}
\]
Per un osservatore che assegnava alle due ipotesi uguale probabilità \( \left( \frac{P(H_1)}{P(H_0)} = 1 \right) \), il verificarsi dell’evento E modifica il rapporto delle probabilità “a priori” a favore dell’ipotesi \( H_1 \), in quanto risulta:
\[
\frac{P(H_1|E)}{P(H_0|E)} \gg 1
\]
Per chi assegna ad \( H_1 \) una probabilità pressoché nulla e ad \( H_0 \) una probabilità vicina a 1, anche il rapporto delle probabilità “a posteriori” resta sfavorevole all’ipotesi \( H_1 \):
\[
\frac{P(H_1|E)}{P(H_0|E)} < 1
\]
Conclusione
Nello stesso libro del De Divinatione, II-59, Cicerone ribadisce le sue convinzioni:
«Cosa c'è di più incerto del lancio dei dadi? Eppure ci sono alcuni, dediti al gioco, che ottengono qualche volta una venere (quando i quattro dadi mostrano facce diverse) e persino due o tre volte di seguito. E allora dobbiamo essere così stolti da affermare che è accaduto per volontà di Venere, piuttosto che per caso?».
Sebbene il concetto moderno di probabilità, con le sue basi matematiche, sia una conquista molto più recente, il pensiero filosofico antico si confrontava attivamente con le questioni dell'incertezza, della conoscenza limitata, del caso e del destino. Le diverse scuole filosofiche offrivano approcci distinti a queste problematiche, gettando indirettamente le basi per future riflessioni sulla natura della probabilità e del suo ruolo nella comprensione del mondo.
Nel passo che abbiamo letto è citato il filosofo Carneade, di cui Cicerone condivide il pensiero gnoseologico, coniando il termine “probabilismo”.
Tra la verità certa e infallibile (episteme) e l’opinione (doxa) del pensiero greco, si fa strada un atteggiamento più pragmatico che guida l’individuo nelle sue scelte, la teoria del verosimile.
Pur accettando il tradizionale assunto scettico sulla fallacia delle sensazioni, si ammette che l’uomo saggio possa accordare fiducia alle sensazioni che gli sembrano più probabili e verosimili.
Il termine «persuasivo» usato da Carneade è sostituito da Cicerone con il termine «probabile» nel suo significato etimologico: che si può approvare o ritenere valido.
Si possono trovare dei punti comuni con la moderna concezione soggettiva della probabilità e col paradigma bayesiano, la cui differenza rispetto all’inferenza classica di ispirazione frequentista non è solo nei metodi ma, soprattutto, nell’impostazione concettuale, in definitiva nei fondamenti filosofici della teoria della conoscenza.
In un test di ipotesi “classico” la regola decisionale si fonda sul rapporto tra verosimiglianze e, quindi, sulle rilevazioni effettuate; il paradigma bayesiano consente di operare combinando i risultati dei rilevamenti campionari con le conoscenze a priori e sul grado di fiducia che si attribuisce alle cause.
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