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Coniche: fuochi ed eccentricità che variano

Un’esperienza didatticamente stimolante su fuochi ed eccentricità che variano. Dai dubbi degli studenti all’approfondimento e all’esigenza di una definizione comune e uniforme per le coniche.

La proposta didattica di questo articolo prende spunto da  una domanda posta da alcuni studenti alla loro insegnante di matematica nel corso di un’ora di lezione sulle coniche.
Dal confronto del  materiale che i ragazzi avevano a disposizione ( esercizi svolti,  risultati emersi nel  laboratorio di informatica, etc)  con quanto riportato dal loro libro di testo, erano affiorati alcuni dubbi che richiedevano l’intervento chiarificatore dell’insegnante.
Questa è la  domanda dei ragazzi, riportata esattamente nei termini in cui si sono  espressi:

«Data una ellisse, se l’eccentricità tende  a 1 essa degenera in un segmento (coincidente con l’asse maggiore) o in una parabola avente un secondo fuoco all’infinito?».

La docente, a suo tempo, ha posto la questione  all’attenzione della lista di discussione Cabrinews, focalizzando due posizioni   sulle quali convergevano le risposte e i commenti degli studenti:

POSIZIONE A

Definita l’eccentricità “ e” come il rapporto, costante, tra la distanza focale e la lunghezza dell’asse maggiore, essa assume valori compresi tra 0 e 1.
Se e=0 l’ellisse rappresenta una circonferenza (i due fuochi coincidono nel suo centro).
Se l’eccentricità aumenta, l’ellisse risulta più schiacciata sull’asse maggiore.
Nel caso limite di e = 1
 l’ellisse si riduce all’asse maggiore e quindi degenera in un segmento

POSIZIONE B

Definita l’eccentricità “e” come il rapporto, che si mantiene costante, tra la distanza focale e l’asse maggiore, essa assume valori compresi tra 0 e 1.
Se e = 0 l’ellisse diventa una circonferenza mentre se e tende al valore 1, l’ellisse degenera in una parabola.
La circonferenza è un’ellisse con i fuochi coincidenti.
Se invece si immagina di fissare un fuoco e di spostare il secondo sempre più lontano dal primo si può osservare l’ellisse mentre si “allunga”, fino a diventare una parabola, che ha un solo fuoco.
Possiamo dire che l’altro fuoco è andato all’infinito.

I due punti di vista sembravano inconciliabili e i ragazzi, pertanto,  chiedevano al docente di stabilire «chi avesse ragione».

Confronto tra le due posizioni  A e B

Gli studenti orientati sulla posizione A  si riferiscono plausibilmente  a particolari costruzioni dell’ellisse, come quella classica del giardiniere.  L’immagine di un’ellisse che si «schiaccia» in un segmento può sembrare semplicistica ma  è indubbiamente quella più vicina al concetto di eccentricità.

Gli studenti orientati sulla posizione B sembrano avere, invece, una visione unitaria delle coniche, classificate mediante il concetto di eccentricità.
La parabola è vista come un’ellisse che si «allunga», dando per scontato che, se tendono  a infinito, sia il valore di a che il valore di c, il loro rapporto tenda a 1.

L’immagine di un fuoco fisso mentre l’altro si allontana verso l’infinito  ricorda  la prima legge di Keplero o le  possibili orbite di un satellite artificiale terrestre: traiettoria  chiusa ( circolare o ellittica)  parabolica, iperbolica, a seconda che  la velocità iniziale sia minore, uguale o maggiore della velocità di fuga dal campo gravitazionale terrestre.

E’ evidente che le due posizioni A e B, non sono inconciliabili ma si riferiscono a esempi distinti che dovrebbero essere inseriti in un quadro più generale.

Una risposta di tipo formale, di carattere definitorio o classificatorio, porrebbe fine alla «controversia» ma  non appagherebbe la curiosità dei ragazzi e la loro esigenza di ragionamenti di tipo dinamico.

L’argomento appare invece didatticamente stimolante proprio perché  suggerisce, prima di giungere a una conclusione, una varietà di percorsi di approfondimento:

  1. Formulazione di un problema adatto a specificare in termini operativi cosa si intende nell’affermare che l’eccentricità tende a 0 oppure tende a 1. Risoluzione e discussione dei risultati
  2. Riflessione critica sul significato dei termini “ caso particolare”, “caso degenere”, “caso limite”
  3. Approccio intuitivo al concetto di passaggio al limite ( limite infinito o forme di indecisione)
  4. Esercizi sui luoghi geometrici
  5. Costruzione delle figure mediante un software di Geometria dinamica
  6. Esempi tratti dal mondo reale

Si propongono pertanto, a titolo di confronto, alcune definizioni di ellisse e alcuni esercizi che possono aiutare la concettualizzazione.

 

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