Da De Moivre a Eulero e viceversa.

La didattica dei percorsi capovolti. Da De Moivre a Eulero e viceversa.

Abraham De Moivre (1667-1754)

Nel 1685 Luigi XIV, stanco della pace religiosa che l’editto di Nantes garantiva da quasi un secolo, pensò bene di abrogarlo. Per i protestanti, la Francia non fu più un luogo sicuro. Molti emigrarono. Tra questi, la famiglia di Abraham De Moivre, di antica fede ugonotta. Trasmigrò in Inghilterra.

Nella città di Londra, De Moivre visse per più di cinquant’anni, cioè tanto da essere considerato da taluni (ad esempio Courant e Robbins) “un matematico inglese”. Jean Dieudonnè invece (in L’ Arte dei numeri, 1987), ci tiene a rivendicarne l’origine e la formazione francesi.

Gli inglesi lo stimarono, ma non gli concessero più di tanto. Né un vitalizio, né la cattedra lucasiana per la quale concorse insieme a John Colson (1680-1760). Ebbe comunque grande notorietà come scienziato e insegnante e anche un discreto prestigio come consulente dei giocatori d’azzardo. Secondo quanto raccontano i suoi biografi, egli era solito intrattenersi in un noto caffè londinese per dare spiegazioni agli amanti dei “giochi di pericolo” che vi si recavano per consultarlo e che erano additati come “uomini De Moivre“. Raccontano anche che calcolò con esattezza il giorno in cui sarebbe morto: il 27 novembre del 1754.

Le varie narrazioni biografiche concordano soprattutto su un punto: la sua fu una vita da insegnante. Per necessità, passò i suoi giorni a dare lezioni private ai giovani rampolli delle famiglie che potevano permetterselo.

La formula di De Moivre

All’insegnamento della matematica De Moivre è rimasto idealmente legato. La matematica e gli insegnanti non l’hanno infatti dimenticato. Il suo nome risuona nelle aule scolastiche di tutto il mondo. Chiunque studia la matematica, già a livello della scuola secondaria di secondo grado, incontra la formula che ne porta il nome

[ϱ(cos θ + i sin θ)]ⁿ = ϱⁿ[cos (nθ) + i sin (nθ)]

cioè “una delle relazioni più notevoli e utili nel campo della matematica elementare” [il giudizio è di Courant e Robbins in Che cos’è la matematica? Boringhieri, 1950].

Una formula notevolissima. Consente di ottenere facilmente, per ogni n, i valori di sen (nθ) e cos(nθ) per mezzo delle potenze di senθ e cosθ ma anche di accedere rapidamente a questioni importanti quali la ciclotomia ( si veda Courant e Robbins, l’op. cit ), il teorema fondamentale dell’algebra e quel capolavoro che è la formula di Eulero.

Un’utilità dunque a largo raggio che è tecnica e speculativa insieme. Riflettere sulla formula di De Moivre induce, infatti, a muoversi sul piano dell’epistemologia e dell’insegnamento. Spinge a toccare questioni che riguardano l’organizzazione e l’ordine storico-genetico dei concetti e dei risultati. Quindi, in particolare, ad affrontare le questioni del “prima” e del “dopo”. Ovvero, quei concetti che didatticamente vale la pena di dare prima (primari) e quelli che possono seguire (secondari). In definitiva quindi ad affrontare la costruzione degli itinerari didattici, i problemi delle connessioni multiple e le modalità del fare matematica. E più semplicemente può portare a considerare di invertire un percorso. Ad esempio: da De Moivre a Eulero e viceversa.

Da De Moivre a Eulero

Alla formula di Eulero si può arrivare per più vie. Ad esempio, attraverso gli sviluppi in serie oppure utilizzando derivate e integrali. Presumibilmente l’itinerario più vicino a quella che è stata la via storica utilizza proprio la formula di De Moivre.

E vero che:

$e= \lim_{n \to \propto }\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^{n} , e^{x}=\lim_{n \to \propto }\left ( 1+\frac{x}{n} \right )^{n}, e^{ix}=\lim_{n \to \propto }\left ( 1+\frac{ix}{n} \right )^{n}$ Il numero complesso ha modulo e argomento principale .

Quindi, espresso in forma polare, è:

$\large 1+\frac{ix}{n}=\sqrt{1+\frac{x^{2}}{n^{2}}}\left ( cos(\arctan \frac{x}{n})+isen(arctan\frac{x}{n}) \right )$

Per la formula di De Moivre, si ha:

$\large \left ( 1+\frac{ix}{n} \right )^{n}=\left ( 1+\frac{x^{2}}{n^{2}}\right )^{\frac{n}{2}}\left ( cos(narctan\frac{x}{n})+isen(narctan\frac{x}{n}) \right )$

E a questo punto la conclusione è immediata perchè:

$\large \lim_{n \to \propto }\left ( 1+\frac{x^{2}}{n^{2}} \right )^{\frac{n}{2}}=1 , \lim_{n \to \propto }\left ( n\cdot arctan\frac{x}{n} \right )=x$

E dunque:

$\large e^{ix}=\lim_{n \to \propto }\left ( 1+\frac{ix}{n} \right )^{n}= cosx+isenx$

Cioè la formula di Eulero che lega forma esponenziale e forma trigonometrica di un numero complesso di modulo 1. Relatione importante inter Analysi et Trigonometria, exposito in modo claro per Eulero. Così si esprimeva Giuseppe Peano nel suo latino sine flexione [Formulario Mathematico, Riproduzione a cura di Ugo Cassina, 1960].

Da Eulero a de Moivre

Da De Moivre a Eulero e viceversa! La freccia del tempo si può invertire? La matematica ama la reversibilità come ama cedere all’invarianza. Entrambe sono le categorie kantiane del fare matematica e le grandi regine della didattica. Allora, capovolgiamo il ragionamento. Partiamo dalla conclusione. Da Eulero. Assumiamo cioè di sapere che per ogni x reale è:

$\large e^{ix}=cosx+isenx$

Per le proprietà delle potenze è:

Cioè :

$\large e^{i(nx)}=cos(nx)+isen(nx)$

Ecco de Moivre! La sua formula ridotta a ben poca cosa. Banalizzata come tutta la Trigonometria. Ancora G. Peano: Omni formula de Trigonometria deriva in modo simplice de proprietates de exponentiale.

La Trigonometria ridotta ad Algebra. I suoi personaggi coseno e seno espressi per mezzo dell’esponenziale. E così è anche per la formula di addizione degli angoli.

Da:

applicando la formula di Eulero ad ambo i membri:

$\large cos(\alpha +\beta )+isen\left ( \alpha +\beta \right )= \left ( cos\alpha +isen\alpha \right )\left ( cos\beta +isen\beta \right )$

Il risultato della moltiplicazione a secondo membro è:

$\large (cos\alpha cos\beta -sen\alpha sen\beta )+i(cos\alpha sen\beta +sen\alpha cos\beta )$

Quindi, confrontando parte reale e parte immaginaria dei due membri dell’uguaglianza, ecco ottenute le formule di addizione per il seno e il coseno:

$\large cos\left ( \alpha +\beta \right )=cos\alpha cos\beta -sen\alpha sen\beta$

$\large sen\left ( \alpha +\beta \right )=cos\alpha sen\beta +sen\alpha cos\beta$

Dunque, come è stato scritto altrove, c’è una riduzione della Trigonometria all’Algebra. Ma “riduzione” in sé è termine limitativo, dà il senso della perdita di qualcosa, mentre invece c’è un arricchimento. C’è l’unità della matematica che risalta e la formula di Eulero che la rinsalda.

Si giustifica dunque il punto di vista didattico di chi vorrebbe che si assumesse come primaria la denotazione per un numero complesso di modulo ρ e argomento δ. Tutto sarebbe più produttivo. Non si perderebbe neppure in legami, se la denotazione coinvolgesse anche le rotazioni e i vettori nel piano. La formula più bella della matematica non deriverebbe più da limiti, serie, derivate e integrali ma sarebbe immediata: la rotazione di centottanta gradi del vettore unitario.

L’idea ha molto di vantaggioso e anche un insegnante umanista ( secondo la classificazione operata da Reuben Hersh) potrebbe esserne attratto e abbracciarla. Ad altri però essa appare più propria di un atteggiamento assolutista. È posta in modo dogmatico, da chi sa come vanno le cose. E all’allievo chiede di accettare. Vai avanti e la fede ti verrà!

Emilio Ambrisi

Laureato in matematica, docente e preside e, per un quarto di secolo, ispettore ministeriale. Responsabile, per il settore della matematica e della fisica, della Struttura Tecnica del Ministero dell'Istruzione. Segretario, Vice-Presidente e Presidente Nazionale della Mathesis dal 1980 in poi e dal 2009 al 2019, direttore del Periodico di Matematiche.

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