Mengoli, Wallis e Gregory alle origini della nuova via analitica verso \(\pi\). Newton non parte dal nulla, ma trasforma tentativi diversi in un metodo generale.
Da Wallis a Newton: dall’interpolazione delle aree alla generalità delle serie infinite
Nell’articolo Verso \(\pi\) percorrendo la nuova via aperta da Newton abbiamo accostato il procedimento di Newton alla via tracciata quasi duemila anni prima da Archimede. Questi aveva cercato \(\pi\) mediante poligoni inscritti e circoscritti al cerchio; Newton, invece, aveva trasformato la semicirconferenza in un’espressione algebrica, sviluppato quell’espressione in una serie infinita e calcolato mediante la serie l’area dalla quale ricavare \(\pi\).
Presentata in questi termini, la vicenda potrebbe però suscitare un’obiezione. Fra Archimede e Newton non si estende affatto un deserto. Prima che Newton elaborasse il proprio metodo, altri matematici avevano già cominciato ad affiancare ai procedimenti geometrici gli strumenti dell’algebra, lo studio delle successioni e il ricorso all’infinito. Basti pensare a Pietro Mengoli e, soprattutto, a John Wallis; negli stessi anni anche James Gregory avrebbe aperto un’altra strada fondata sulle serie.
Riconoscere questi precedenti non diminuisce la novità di Newton. Permette, al contrario, di comprenderla meglio e di precisare in che cosa consista davvero la svolta da lui impressa.
Mengoli: l’algebra entra nelle quadrature
Allievo di Bonaventura Cavalieri e suo successore nello Studio di Bologna, Pietro Mengoli occupa una posizione significativa nel passaggio dal metodo degli indivisibili al nuovo calcolo.
Nelle Novae quadraturae arithmeticae del 1650 affrontò lo studio delle serie infinite, dimostrando, fra l’altro, la divergenza della serie armonica. Nei Geometriae speciosae elementa del 1659 cercò invece di congiungere l’antico metodo di esaustione, gli indivisibili di Cavalieri e l’algebra di Viète.
Nella notazione moderna, alcune delle famiglie di quadrature considerate da Mengoli possono essere espresse nella forma
$$
\int_0^1 x^m(1-x)^n\,dx,
$$
dove \(m\) e \(n\) sono interi non negativi. Il valore dell’integrale è
$$
\int_0^1 x^m(1-x)^n\,dx
=
\frac{m!\,n!}{(m+n+1)!}.
$$
Mengoli non procedeva più soltanto figura per figura. Organizzava le espressioni algebriche in tavole triangolari, ne studiava le regolarità e cercava di ottenere intere famiglie di quadrature.
Nel Circolo, pubblicato nel 1672, affrontò direttamente il problema dell’area del cerchio, estendendo il proprio procedimento a espressioni che oggi scriveremmo nella forma
$$
\int_0^1 x^{m/2}(1-x)^{n/2}\,dx,
$$
e giunse anche a un prodotto infinito per \(\frac{\pi}{2}\). Nelle pagine iniziali dell’opera dichiarò, tuttavia, di avere ottenuto la quadratura del cerchio già nel 1660, dunque prima dei calcoli compiuti da Newton negli anni 1665 e 1666, sebbene l’esposizione di Mengoli sia stata pubblicata soltanto più tardi.
Mengoli rappresenta dunque uno dei momenti nei quali la quadratura comincia a emanciparsi dal trattamento geometrico eseguito caso per caso. Il suo lavoro costituisce un passaggio importante nell’algebraizzazione della geometria, tanto che la sua posizione è stata considerata intermedia fra gli indivisibili di Cavalieri e le flussioni di Newton.
Wallis e il termine mancante
Il confronto più diretto con Newton è però offerto da John Wallis. Nella sua Arithmetica infinitorum, pubblicata nel 1656, egli studia le aree sottese, nell’intervallo compreso fra \(0\) e \(1\), dalle curve
$$
y=(1-x^2)^n
$$
Traducendo il suo procedimento nella notazione moderna e indicando con
$$
I_n=\int_0^1(1-x^2)^n\,dx
$$
l’area corrispondente, per i primi valori interi non negativi di \(n\) si ottiene
$$
I_0=1,
$$
$$
I_1
=
\int_0^1(1-x^2)\,dx
=
1-\frac13
=
\frac23,
$$
$$
I_2
=
\int_0^1(1-2x^2+x^4)\,dx
=
1-\frac23+\frac15
=
\frac8{15}
$$
$$
\begin{aligned}
I_3
&=
\int_0^1(1-3x^2+3x^4-x^6)\,dx\\
&=
1-1+\frac35-\frac17
=
\frac{16}{35}
=
\frac{48}{105}
\end{aligned}
$$
Le aree seguono quindi la successione
$$
1,\qquad
\frac23,\qquad
\frac8{15},\qquad
\frac{48}{105},\ldots
$$
e soddisfano la relazione
$$
I_n=\frac{2n}{2n+1}I_{n-1}.
$$
Ma l’area del quarto di cerchio non corrisponde a un esponente intero. La sua ordinata è infatti
$$
y=\sqrt{1-x^2}=(1-x^2)^{\frac12},
$$
e pertanto
$$
I_{\frac12}
=
\int_0^1\sqrt{1-x^2}\,dx
=
\frac{\pi}{4}.
$$
Il valore cercato corrisponde dunque all’esponente \(\frac12\), collocato fra gli esponenti \(0\) e \(1\). Ciò non significa, tuttavia, che Wallis si limiti a sostituire \(n=\frac12\) nella relazione precedente, stabilita per gli esponenti interi. Il suo ragionamento è più complesso: egli studia le regolarità e i rapporti fra successioni di aree corrispondenti alle potenze intere e interpola fra queste successioni il caso relativo alla radice quadrata.
Attraverso questo procedimento ingegnoso giunge al celebre prodotto
$$
\frac{\pi}{2}
=
\frac{
2\cdot2\cdot4\cdot4\cdot6\cdot6\cdot8\cdot8\cdots
}{
1\cdot3\cdot3\cdot5\cdot5\cdot7\cdot7\cdot9\cdots
},
$$
che può anche essere scritto
$$
\frac{\pi}{2}
=
\prod_{n=1}^{\infty}
\frac{4n^2}{4n^2-1}.
$$
È un risultato straordinario. \(\pi\) non viene più raggiunto aumentando progressivamente il numero dei lati di un poligono, ma attraverso le aree di una famiglia di curve e un prodotto infinito. Wallis si è ormai inoltrato in un territorio analitico, molto lontano dalla geometria dei poligoni di Archimede.
Il passaggio decisivo all’esponente \(\frac12\) rimane tuttavia affidato a un’interpolazione delle regolarità osservate per gli esponenti interi. Quella di Wallis è un’intuizione profonda e feconda, ma non possiede ancora la trasparenza di una regola algebrica capace di generare direttamente lo sviluppo corrispondente a qualsiasi esponente frazionario.
Newton: dall’interpolazione alla regola generale
Newton conosceva l’opera di Wallis e proprio la riflessione sui suoi procedimenti ebbe un ruolo importante nella scoperta del teorema binomiale generalizzato. Wallis aveva fatto ricorso all’interpolazione per determinare il caso corrispondente a un esponente frazionario; Newton, muovendo anche da quella stessa idea, riesce a ricondurre gli esponenti interi e frazionari a un’unica regola generale.
Egli dispone infatti dello sviluppo
$$
(1+z)^\alpha
=
\sum_{k=0}^{\infty}
\binom{\alpha}{k}z^k,
\qquad |z|<1,
$$
dove
$$
\binom{\alpha}{k}
=
\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-k+1)}{k!}.
$$
La formula conserva significato anche quando \(\alpha\) non è un intero positivo. Ponendo
$$
\alpha=\frac12,
\qquad
z=-x,
$$
Newton ottiene direttamente
$$
\begin{gathered}
(1-x)^{\frac12}
=
1-\frac12x-\frac18x^2-\frac1{16}x^3\\[4pt]
-\frac5{128}x^4-\frac7{256}x^5-\cdots .
\end{gathered}
$$
Questa è la differenza essenziale. Wallis giunge al caso frazionario interpolando le regolarità individuate nelle successioni relative agli esponenti interi. Newton possiede invece una regola capace di generare direttamente lo sviluppo per esponenti interi, frazionari e negativi.
Nell’esempio esaminato nel precedente articolo, la semicirconferenza
$$
y=x^{\frac12}(1-x)^{\frac12}
$$
viene così trasformata in una serie di potenze frazionarie di \(x\):
$$
\begin{gathered}
y
=
x^{\frac12}
-\frac12x^{\frac32}
-\frac18x^{\frac52}\\[4pt]
-\frac1{16}x^{\frac72}
-\frac5{128}x^{\frac92}
-\cdots .
\end{gathered}
$$
A questo punto Newton può integrare termine a termine, calcolare l’area e risalire a \(\pi\). Il procedimento non dipende più da un’interpolazione escogitata appositamente per il cerchio: diventa un metodo applicabile a una vasta classe di curve e di problemi.
Gregory e un’altra serie per \(\pi\)
Negli stessi anni la nuova analisi stava prendendo forma anche attraverso altre ricerche. Nel 1667 James Gregory, nella Vera circuli et hyperbolae quadratura, espresse mediante serie infinite aree legate al cerchio e all’iperbole. Nel 1671 comunicò a John Collins, insieme ad altri sviluppi di funzioni trigonometriche, la serie
\arctan x
=
x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}
-\frac{x^7}{7}+\cdots .
\]
La serie converge alla funzione \(\arctan x\) per \(|x|<1\) e converge anche nei due estremi \(x=\pm1\). Gregory, tuttavia, non sembra averla utilizzata ponendo \(x=1\). Fu Leibniz, dopo avere ritrovato indipendentemente lo stesso sviluppo nel 1673, a osservare che, essendo
\arctan 1=\frac{\pi}{4},
\]
si ottiene
\frac{\pi}{4}
=
1-\frac13+\frac15-\frac17+\frac19-\cdots .
\]
Il risultato è tradizionalmente noto come serie di Gregory-Leibniz. La stessa serie era stata però scoperta alcuni secoli prima dalla scuola matematica del Kerala ed è attribuita a Mādhava di Sangamagrāma. Non ci è pervenuta direttamente nei suoi scritti, ma è attestata nelle opere dei suoi successori. Per questa ragione viene oggi indicata anche come serie di Mādhava-Gregory-Leibniz.
Anche questa rappresenta una via analitica verso \(\pi\): non si parte dal perimetro di poligoni, ma dallo sviluppo in serie di una funzione. Dal punto di vista numerico, tuttavia, quando si pone \(x=1\) la convergenza è lentissima. La formula è concettualmente semplice e importante, ma occorrono moltissimi termini per ottenere poche cifre decimali corrette.
Gregory non può essere considerato, in senso strettamente cronologico, un precursore del calcolo newtoniano di \(\pi\): il suo sviluppo dell’arcotangente risale al 1671, mentre Newton aveva condotto i propri calcoli negli anni 1665 e 1666. Il suo lavoro mostra piuttosto che, intorno a Newton, la matematica europea stava rapidamente scoprendo nelle serie infinite un nuovo linguaggio per affrontare curve, aree e funzioni.
Una svolta maturata in pochi anni
Fra i poligoni di Archimede e la serie binomiale di Newton non si estende, come già detto, un deserto. Colpisce, anzi, la rapidità con cui la nuova via prende forma. Nel 1650 Mengoli pubblica le Novae quadraturae arithmeticae; nel 1655-1656 Wallis elabora e pubblica l’Arithmetica infinitorum; Mengoli dichiara di avere ottenuto la quadratura del cerchio nel 1660. Appena un decennio dopo Wallis, negli anni 1665 e 1666, Newton sviluppa il teorema binomiale e dedica parte di quel tempo — nel quale, come avrebbe confessato, non aveva «nient’altro che lo occupasse» — a spingere molto avanti il calcolo delle cifre di \(\pi\).
Nel 1667 Gregory pubblica la Vera circuli et hyperbolae quadratura e nel 1671 comunica la serie dell’arcotangente.
La rottura introdotta da Newton, dunque, non parte da zero, ma c’è, ed è profonda. Mengoli aveva avvicinato algebra e quadrature; Wallis aveva cercato l’area del cerchio mediante successioni e interpolazioni; Gregory, subito dopo, avrebbe mostrato un’altra possibilità offerta dalle serie. Newton raccoglie soprattutto l’impulso proveniente dall’opera di Wallis e gli conferisce una portata nuova: con il teorema binomiale, il passaggio dalla curva alla serie non dipende più da un artificio legato a un singolo problema, ma diventa una procedura generale e ripetibile.
È questo il significato più profondo della via newtoniana verso \(\pi\). Ecco allora la rottura: una nuova maniera di pensare. Affidare le curve all’algebra, tradurle in serie infinite e operare su quelle serie per ricavare proprietà, aree e numeri. In pochi anni, aperture diverse confluiscono così in un metodo destinato a trasformare la matematica.
Le date della svolta
La successione essenziale degli avvenimenti, limitatamente al contesto europeo, mostra quanto rapidamente sia maturata la nuova via analitica:
- 1650: Mengoli pubblica le Novae quadraturae arithmeticae e affronta sistematicamente lo studio delle serie infinite;
- 1655–1656: Wallis completa e pubblica l’Arithmetica infinitorum, che reca sul frontespizio la data del 1656;
- 1660: Mengoli, secondo quanto dichiarerà nel Circolo, ottiene la quadratura del cerchio;
- 1664–1665: Newton, muovendo dall’opera di Wallis, giunge al teorema binomiale generalizzato;
- 1665–1666: durante la chiusura dell’Università di Cambridge per la peste, Newton si ritira a Woolsthorpe, sviluppa le proprie ricerche sulle serie e conduce i suoi calcoli su \(\pi\);
- 1667: Gregory pubblica la Vera circuli et hyperbolae quadratura;
- 1669: Newton compone il De Analysi, nel quale espone il nuovo metodo delle serie infinite;
- 1671: Gregory comunica a John Collins lo sviluppo in serie dell’arcotangente e Newton compone il Methodus fluxionum et serierum infinitarum;
- 1672: Mengoli pubblica il Circolo, rendendo nota la quadratura che dichiarava di avere ottenuto nel 1660;
- 1673–1674: Leibniz ritrova indipendentemente la serie dell’arcotangente e ne ricava, ponendo \(x=1\), la celebre serie per \(\pi/4\).
Questa cronologia riguarda la matematica europea. Lo sviluppo in serie dell’arcotangente e la conseguente serie per \(\pi\) erano stati scoperti diversi secoli prima dalla scuola matematica indiana del Kerala e sono attribuiti a Mādhava.
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