Dov’è l’errore?

Fare matematica in classe. Cinque esempi di esercizi le cui soluzioni, talvolta paradossali, spingono a far riflettere. Dov’è l’errore?

• Se nella uguaglianza tg(π-α)=-tgα si pone α=π/2, si ottiene tgπ/2=-tgπ/2 da cui 2tgπ/2=0 cioè tgπ/2=0. Dov’è l’errore?
• Se a≠b è x-a ≠ x-b ovvero (x-a)²≠(x-b)². L’equazione (x-a)²=(x-b)² è dunque impossibile! Sviluppando, però, si ha:

x²-2ax+a² = x² – 2bx + b²  cioè: -2ax+a² = – 2bx + b²  quindi: -2ax+ 2bx = + b² – a² ovvero:

2x= b+a e dunque: x= (b+a)/2. Una soluzione c’è! Com’è possibile? Dov’è l’errore?

• L’identità a² – a² = a² – a² si può scrivere: a(a-a) = (a-a) (a+a) da cui eliminando il fattore comune (a – a) rimane: a ^a + a cioè a = 2a e. in particolare 1 = 2. Aggiungendo 1 ad ambo i membri si ha 1 + 1 = 2+ 1 ossia 2 =3 e poi 3=4 e così di seguito. Dunque tutti i numeri sono uguali. Dov’è l’errore?

• 0,1 (0,5x + 6) = 2  ⇒  0,5x + 6 = 20  ⇒  0,5 x = 14, dunque x = 7 . Dov’è l’errore?

• Alla sua morte un arabo lascia ai tre figli 17 cammelli disponendo che il primo ne abbia la metà, il secondo la terza parte e il terzo la nona parte. Trovandosi in disaccordo sulla spartizione dei cammelli, i tre figli si rivolgono ad un giudice che assegna 9 cammelli al primo figlio,  6 cammelli al secondo e 2 al terzo che è più di quanto spettasse loro. Dov’è l’errore?

Osservazione sull’arabo

L’eredità dell’arabo è uno degli esercizi della tradizione dell’insegnamento della matematica, utilizzato spesso per un approfondimento sulle frazioni. Se ne conoscono molte variazioni. Ad esempio, 11 cammelli, ma ripartiti ai tre figli in 1/2, 1/4 e 1/6. Una sua generalizzazione, che mantiene nella formulazione il legame con il mondo arabo ed è anche conosciuta come problema della Mecca, è la seguente:

«Un arabo muore lasciando ottantuno palme ai suoi nove figli. La prima palma produce una libbra di datteri all’anno, la seconda produce due libbre, e così via fino all’ottantunesima che ne produce 81 libbre. Come distribuire il patrimonio di palme tra gli eredi in modo che tutti beneficino dello stesso numero di alberi e dello stesso raccolto annuale di datteri?»

Altri riferimenti

Fare matematica