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Ennio De Giorgi parlò della “totalità delle cose pensabili”

Il ricordo di Ennio De Giorgi: al Congresso Mathesis del Centenario parlò della Teoria95 e della totalità delle cose pensabili. In questi giorni

Il ricordo di Ennio De Giorgi: al Congresso Mathesis del Centenario parlò della Teoria95 e della totalità delle cose pensabili.

Ennio De Giorgi (1928 – 1996)

In questi giorni di così forte afflizione per il moltiplicarsi dei contagi da Covid, la comunità matematica italiana si è idealmente riunita per ricordare il Maestro Ennio De Giorgi. Maestro di matematica e di come si fa matematica (lo ricordava spesso Giuseppe Geymonat). Maestro di molti, in umiltà e sapienza.

Ennio de Giorgi è morto il 25 ottobre 1996.

Ventiquattro anni fa. Per i molti che gli sono stati vicini e che da lui hanno appreso, è una ricorrenza triste, ma anche l’occasione di parlare di lui: della soluzione del 19° problema di Hilbert, del premio Wolf,  dei suo modo di essere uomo e scienziato, del prestigio goduto a livello internazionale, delle sue idee e propensioni.

Esattamente un anno prima aveva partecipato al Congresso per i Cento Anni della Società Mathesis

Si era tenuto a Roma dal 20 al 23 ottobre 1995. Vi tenne la relazione Riflessioni sui fondamenti della matematica. Un resoconto, essenziale e chiaro, di quanto era stato sviluppato nei Seminari tenuti alla Scuola Normale di Pisa di quell’anno. Riflessioni che lo avevano portato  a congetturare e elaborare una teoria che aveva chiamato Teoria 95. Qualcosa che, a suo parere, apriva larghe prospettive innovative sui problemi dei fondamenti della matematica e della logica e sui problemi che nascono quando si riflette sugli “infiniti massimi”, sulla “totalità delle cose pensabili”, sui “problemi di autoreferenza”.

Parlandone ai docenti era certamente consapevole dell’interesse dell’argomento.

Sul piano semantico, ad esempio,  tra la  “totalità delle cose pensabili” e “l’insieme U di tutti gli insiemi” un’analogia corre veloce. E così per la richiesta: U è elemento di se stesso? Il pensiero va ad espressioni utilizzate in altri ambiti del sapere. Esempio: la storia della storiografia. Analogo problema: la storia appartiene alla storiografia o è vero il viceversa?

Conviene però seguire la “voce” del Maestro. Ecco il testo della parte introduttiva della sua relazione al Congresso Mathesis.

La scelta degli assiomi fondamentali della Matematica deve soddisfare varie esigenze. In primo luogo i sistemi di assiomi proposti non debbono essere contraddittori. Verificare questa non contraddittorietà può essere un’operazione tutt’altro che banale. Per esempio, molti anni dopo che era stata proposta la cosiddetta “ipotesi del continuo” , è arrivata la prova, dovuta P.J. Cohen, della sua indipendenza dagli altri assiomi classici della teoria degli insiemi.

Accanto all’esigenza di coerenza logica, vi sono molte altre esigenze che chiamerei “sapienziali”.

Per esempio, vi è l’esigenza di recuperare all’interno di un nuovo sistema di assiomi le principali idee della matematica e della logica antiche e moderne. L’innovazione necessaria perché matematica e logica siano scienze vive non deve distruggere ma piuttosto valorizzare la tradizione dimostrandone la fecondità e la capacità di continui inattesi sviluppi.

Accanto alle esigenze “interne” alla logica matematica, vi sono esigenze “esterne”.

Vi è la necessità di adottare un linguaggio che faciliti il dialogo con gli studiosi di altre discipline  ( fisica, biologia, informatica, economia, linguistica, filosofia, ecc. ) in modo da rendere possibile un fecondo scambio di idee che eviti ogni riduzionismo, rispetti la specificità di tutte le forme del sapere, e nello stesso tempo le avvicini in quel sentimento che gli antichi chiamarono “filosofia”, cioè “amore della sapienza”.

Gli atti Mathesis 1995

In questa direzione sono orientate alcune proposte di formulazione dei fondamenti della Matematica che cercano di superare il “riduzionismo insiemistico” attraverso una scelta “pluralistica” dei concetti fondamentali della Matematica, tra cui in primo luogo i concetti di insieme, collezione, numero, operazione, relazione, proprietà (o qualità), proposizione, predicato.

Questa impostazione mira a una teoria aperta in cui sia possibile l’inserimento di altri concetti fondamentali.

L’introduzione del concetto di collezione accanto al concetto di insieme consente di trattare delle infinità “qualitativamente maggiori” di quelle degli insiemi infiniti. Nel quadro della nuova teoria, che ho chiamato “Teoria 1995” poiché è stata discussa nei Seminari tenuti alla Scuola Normale in questo anno, oltre agli insiemi infiniti considerati dalle teorie classiche a cominciare da Cantor, vi sono delle collezioni più grandi di ogni insieme, per esempio vi è la collezione di tutti gli insiemi. Tra i postulati della teoria vi è quello che ogni insieme è anche una collezione. Dagli stessi postulati si deduce facilmente che non tutte le collezioni sono insiemi.

Si ammette pure che esista la collezione di tutte le collezioni.

E si dimostra, mediante un ragionamento che segue la linea usuale delle antinomie antiche e moderne, dall’antinomia del mentitore all’antinomia di Russel, che non esiste la collezione di tutte le collezioni che non appartengono a se stesse. Si apre così una larga prospettiva sui problemi che nascono quando si riflette sugli “infiniti massimi”, sulla “totalità delle cose pensabili”, sui “problemi di autoreferenza”. Per esempio, nella “Teoria 1995” la collezione massima è una collezione che appartiene a se stessa.

Questi tipi di problemi compaiono in varia forma.

Compaiono in tutte le discipline, anche quelle apparentemente più lontane dalla matematica e dalla logica. Per esempio, ho sentito parlare dai colleghi storici di “storia della storiografia”, di evoluzione nel corso della storia della stessa idea di verità storica. Parlando con alcuni studiosi di letteratura mi è stata ricordata l’esistenza di romanzi che parlano del lavoro del romanziere. Di film che parlano della nascita di un film, ecc.

Alla fine io credo che la riflessione sui massimi infiniti, sulla totalità delle cose pensabili debba ricondurci a quel sentimento di umiltà che l’antica sapienza ebraica comprendeva in quello che nel libro dei Proverbi è detto timor Domini principium Sapientiae, i saggi greci esprimevano dicendo “so di non sapere” e insieme alla fiducia che lo stesso libro dei Proverbi ci ispira dicendo che la Sapienza viene incontro a chi la desidera.

In questo spirito la “Teoria 1995” si presenta come una teoria aperta.

Vi vengono proposte, in un quadro unitario che ci sembra più ampio del consueto, alcune idee base della matematica e della logica e viene lanciato ampio spazio per ulteriori sviluppi proposti da vari studiosi che vogliano portare il contributo della loro cultura, del loro spirito critico, del loro interesse per la storia e le tradizioni delle varie scienza, della oro audacia innovativa.

I primi concetti fondamentali considerati nella Teoria 95 sono i concetti tradizionali della matematica e della logica cioè i concetti di numero, operazione, relazione, collezione, proposizione, predicato; poiché la Teoria 95 si propone come teoria non riduzionista, essa considera numeri, operazioni, relazioni, collezioni, proposizioni, predicati come oggetti qualitativamente diversi, collegati fra loro da opportuni assiomi, ma non riducibili gli uni agli altri.   Ennio De Giorgi, Riflessioni sui fondamenti della Matematica, in Atti Mathesis, 1995

 

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