Equivalenza nel piano. Scomponibilità di poligoni in parti rispettivamente uguali.
(da Enciclopedia delle Matematiche Elementari e Complementi. L. Berzolari- G. Vivanti- D.Gigli. Volume II – Parte 1°. Capitolo XXI. Hoepli, Milano).
Scomponibilità di poligoni in parti rispettivamente uguali, e questioni relative.
1. La teoria euclidea dell’equivalenza ( o uguaglianza di area ) dei poligoni si fonda su alcuni principi o postulati, che qui enunciamo con la nomenclatura moderna:
- Poligoni uguali sono equivalenti;
- Poligoni equivalenti ad uno stesso sono equivalenti fra loro;
- Somme di poligoni equivalenti sono equivalenti;
- Differenze di poligoni equivalenti sono equivalenti;
- Un poligono non è equivalente a una sua parte.
Ma il concetto di area rimane primitivo; così per i geometri successivi fino ad A. M. LEGENDRE, R. BALTZER, A. AMIOT e per lo stesso A. FAIFOFER, cui pure spetta il merito di aver rinnovato, didatticamente, questa teoria.
2. Dallo stesso svolgimento di Euclide, che si può modificare in modo da evitare l’applicazione del 4° principio, risulta che due poligoni equivalenti sono sempre decomponibili in parti poligonali rispettivamente uguali; e poiché, inversamente, poligoni composti di parti rispettivamente uguali sono equivalenti per i principi 1° e 3°, si traggono due conclusioni: che la relazione di equivalenza è sufficientemente determinata dai postulati 1, 2, 3, 5 ; che si può eliminare il concetto primitivo di area, sostituendolo con una definizione fondata sulla equiscomponibilità. Così facendo, le proprietà espresse dai postulati 1, 2 , 3 divengono subito corollari della definizione o teoremi; la proprietà espressa dal principio 5° invece resiste e per vario tempo rimase dubbio se essa dovesse essere conservata come postulato.
3. In un primo periodo, però, tale questione non fu sollevata. Fu A. DE ZOLT a osservare come, nella nuova teoria dell’equivalenza, fosse rimasto un principio intuitivo che egli enunciò in questa forma:
Scomposto un poligono in parti, non si può con esse meno una ricomporre il poligono primitivo.
Ma è questo un postulato o un teorema ?
A. DE ZOLT stesso proponeva una dimostrazione, non soddisfacente; dopo altri vani tentativi e lunghe discussioni, furono finalmente date varie dimostrazioni ineccepibili. Alcune di esse differiscono per poco; notevole è quella di D. Hilbert, perché indipendente dal postulato d’ARCHIMEDE. D. HILBERT stabilisce infatti, senza ricorrere a questo postulato, ma con l’aiuto, invece, del così detto teorema di PASCAL, un calcolo segmentario che conserva quasi tutte le proprietà formali del calcolo numerico; dicendo indice di un triangolo il prodotto dei due segmenti base e altezza , dimostra la indipendenza dell’indice dal lato scelto come base, e la proprietà additiva dell’indice quando un triangolo si scompone comunque in altri triangoli. Definendo poi come indice di un poligono la somma degli indici dei triangoli nei quali può venire scomposto, trova che esso è indipendente dalla scomposizione, e ne segue che l’indice di un poligono è uguale alla somma degli indici di altri poligoni nei quali è diviso. Ma gli indici sono segmenti, e per questi vale il principio analogo a quello di DE ZOLT; il quale risulta perciò dimostrato per i poligoni.
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