Esercizi da risolvere in classe

Sperimentare nel mondo dei numeri alla ricerca di regolarità e invarianze. Proposte di esercizi da risolvere in classe.

Periodico di Matematiche 1/2017

In Problemi montessoriani abbiamo presentato alcuni esempi tratti da una ben più vasta collezione di problemi considerata a ragion veduta un autentico patrimonio professionale per ogni docente di matematica della scuola secondaria. Molti di quegli esempi fondano la loro soluzione sulle capacità di saper cogliere regolarità e invarianze; quindi, se trattati, adatti a potenziare e rafforzare tali capacità degli studenti. Tra gli esempi allora proposti ne figura uno che Laurent Schwartz nella sua autobiografia ricorda di aver proposto ad un suo allievo di dieci anni piuttosto bravo. Ecco il problema e la sua soluzione:

Se prendo il numero 2527 e lo elevo alla 513-esima potenza, con quale cifra termina il numero che ottengo?

Il problema è molto facile se si capisce che del numero 2517 conta soltanto l’ultima cifra. Bisogna semplicemente calcolare le potenze successive di 7 e vedere con quale cifra esse terminano: 7⁰=1, 7¹=7, 7²=49 che termina con 9. Le potenze successive di 7 terminano nell’ordine con 1,7, 9, 3, 1, 7, 9, 3, 1,…… successione periodica di periodo 4.  Bisogna dunque calcolare il resto della divisione di 513 per 4: 513=4×128+1; il resto è 1. La potenza 7⁵¹³ termina dunque esattamente per 7¹, ossia per 7. 

Ecco ora un altro esercizio analogo.

Questa volta il numero dato è 7¹⁰⁰ che per quanto detto prima avrà come ultima cifra 1, che però non è quello che interessa; e non interessa neppure quante cifre avrà lo sviluppo della potenza né qual è la sua prima cifra. Dato il numero 7¹⁰⁰  quello che interessa è conoscere il risultato della sua divisione per 13 e più specificamente interessa il resto della divisione.

Qual è questo resto?

Un buon viatico per il viaggio risolutivo è costituito da un risultato piuttosto semplice da ottenere. Si prendano due numeri a e b e si dividano per uno stesso numero c≠0. Siano m e n i rispettivi resti. Si può sperimentare che se si dividono per c sia il prodotto a·b che il prodotto m·n si ottengono resti uguali. Ovviamente non si può fondare un risultato su un certo numero di esperimenti che lo confermano, occorre una prova formale che comunque non è difficile da pensare ed ottenere. Il risultato è comunque una di quelle infinite regolarità che s’incontrano nel mondo dei numeri e che si presta a risolvere il nostro problema con relativa immediatezza.

Poiché è: 7=0·13 + 7 e 7²= 3·13+10 dal risultato prima citato ne segue che il resto della divisione di 7·7² per 13 sarà lo stesso del resto della divisione per 13 di 7·10, ovvero 5.

Ne consegue dunque che:

Si può proseguire rapidamente perché da 7¹ a 7¹²  tutti i resti possibili, i numeri da 1 a 12, sono tutti lì nei calcoli già effettuati. Resti che si ripetono nello stesso ordine da 7¹³ a 7²⁴ e poi da  7²⁵ a 7³⁶ da  7³⁷ a 7⁴⁸ … da  7⁶³ a 7⁷⁴ e ancora da  7⁷⁵ a 7⁹⁶ per poi ricominciare con la stessa regolarità.

Quindi la soluzione al problema, ovvero il resto della divisione di 7¹⁰⁰ per 13, è 9.