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Esercizi e problemi di matematica concreta

La matematica concreta e le funzioni pavimento e soffitto. Esempi di esercizi di riscaldamento e di problemi di ricerca.

Del testo di Graham-Knuth-Patashnik è stato detto [VEDI] che il titolo Concrete Mathematics fu tradotto in italiano in modo alquanto improprio  e contraddittorio: sulla copertina divenne Matematica discreta mentre all’interno rimase, non sempre ma spesso, Matematica concreta. È stato anche detto che è un libro impegnativo, di matematica dura, adatto a laureati o studenti degli ultimi anni del corso di laurea in matematica e che è innovativo sotto molti punti di vista. Un libro che pedagogicamente presenta spunti molto interessanti tanto che se ne potrebbe tener conto utilizzandolo, anche solo per quelle parti più  abbordabili, nei corsi universitari da attivare per la formazione iniziale dei docenti di matematica.

Un libro che ha il gran pregio di trasmettere una visione unitaria della matematica che di per sé è molto stimolante. Le pagine iniziali di ogni capitolo, infatti, sono comprensibilissime e incoraggiano ad andare avanti con il piacere di fare matematica concreta, poi assaporare lo stesso piacere diventa sempre più faticoso e dipende dai soggetti, dalla loro capacità di non arrendersi e mantenere ferma la concentrazione. Un altro grande pregio didattico del libro, e anche questo è stato già scritto, é la consistente presenza di esercizi, con le loro soluzioni e una classificazione che attrae e guida su per una scala di complessità graduali.

Questo degli esercizi è un aspetto così significativo che vale la pena di riprendere e dettagliare meglio.

Al primo gradino, per ogni capitolo, figurano gli esercizi di riscaldamento seguiti dagli esercizi di base e da quelli di approfondimento. I tre gradini successivi della scala sono problemi. Vengono prima i problemi d’esame:   implicano generalmente concetti provenienti da due o più capitoli contemporaneamente; seguono i problemi bonus che vanno al di là di quello che ci si aspetta dallo studente medio di matematica concreta. Alla sommità della scala ci sono i problemi di ricerca per la cui soluzione dovrebbe valere la pena di compiere uno o più tentativi senza avere vincoli di tempo.

Ecco un esempio di problema di ricerca:

È possibile che tutti i rettangoli 1/k per 1/(k+1), per k ≥ 1, stiano insieme dentro un quadrato 1 per 1? (ricordate che la somma delle loro aree è 1).

A questo problema di ricerca anche gli autori hanno tentato di rispondere. L’hanno fatto in modo sintetico e libero. Ecco le loro risposte: Graham pensa di no, Knuth pensa di sì, Patashnik preferisce non compromettersi.

Ovviamente gli esempi che per prima attraggono i lettori sfidandoli ad affrontarli, sono gli esercizi di riscaldamento.  E il seguente è decisamente interessante. È il primo dei riscaldamenti proposti nel capitolo delle “Somme e Ricorrenze”:

  • Che cosa significa la notazione \sum_{k=4}^{0}q_{k} ?

Ecco la risposta chiara e completa data nel libro:

L’esercizio che segue non è meno istruttivo, in particolare per i docenti che hanno necessità di possedere con chiarezza l’uso e i significati delle notazioni:

  • Date prova di aver capito la notazione ∑ scrivendo per esteso le somme:

\sum_{0\leq k\leq 5}^{}a_{k}

e\sum_{0\leq k^{2}\leq 5}^{}a_{k^{2}}Le risposte. La prima somma non offre difficoltà, è : a0 + a1 + a2 + a3 + a4 +a5

La seconda è complicata dalla presenza del quadrato: la somma è a4 + a1 + a0 + a1 + a4 poiché è effettuata sui valori k\in \left \{ -2, -1, 0, +1.+2 \right \} che soddisfano le condizioni e le limitazioni imposte.

Gli altri due esempi che si riportano sono tratti dal capitolo “Coefficienti binomiali”.

  1. Quanto vale 114? Perché questo numero è facile da calcolare, per una persona che conosce i coefficienti binomiali?
  2. Sia n un dato numero intero positivo; per quali valori di k il coefficiente binomiale \binom{n}{k} è massimo? Dimostrate la vostra risposta.

La risposta al  primo esercizio è il numero 14641. Le sue cifre sono i numeri della riga-4 del triangolo di Tartaglia e lo stesso risultato si ottiene, per il teorema binomiale, in qualunque sistema di numerazione con base maggiore o uguale di 7.

Il secondo esercizio: il rapporto \binom{n}{k+1}/\binom{n}{k}=(n-k)/(k+1) è ≤1 quando k\geq \left \lfloor n/2 \right \rfloor e ≥1 quando k<\left \lceil n/2 \right \rceil, perciò il massimo si presenta quando k=\left \lfloor n/2 \right \rfloor e quando k=\left \lceil n/2 \right \rceil .

Dove

\left \lfloor n/2 \right \rfloor = il massimo intero minore o uguale a n/2

\left \lceil n/2 \right \rceil = il minimo intero maggiore o uguale a n/2

sono i simboli introdotti da Kenneth E. Iverson agli inizi degli anni ’60 del secolo scorso per denotare le funzioni che definì per tutti i numeri reali x e battezzò rispettivamente con i nomi molto concreti di pavimento e di soffitto.

 

Autore

  • Emilio Ambrisi

    Laureato in matematica, docente, preside (dal 1983) e ispettore ministeriale (dal 1991). Dal 2004 al 2015 responsabile, per il settore della matematica e della fisica, della Struttura Tecnica del Ministero dell'Istruzione. Dal 1980 Segretario Nazionale della Mathesis e, successivamente, Vice-Presidente. Dal 2009 al 2019 Presidente Nazionale e direttore del Periodico di Matematiche.

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