Problemi per consolidare conoscenze e competenze relative alle figure geometriche piane. Quanti possono essere gli angoli retti in un esagono?
Si propone un problema avente come finalità quella di consolidare le conoscenze e competenze degli studenti in ordine alle proprietà delle figure geometriche piane.
Il problema.
1 ) È dato un esagono convesso.
- Dimostrare che ha al più tre angoli retti.
- Ammesso che l’esagono abbia esattamente tre angoli retti consecutivi, dimostrare che non può essere equilatero.
2) Nell’esagono convesso ABCDEF gli angoli di vertici A, B, C sono retti e inoltre: AB=BC e AF=FE=ED=DC. Dimostrare che:
- il quadrilatero BDEF è circoscrivibile ad un cerchio (si chiami O il suo centro).
- Ammesso che i lati AB e AF abbiano lunghezze rispettivamente e rispetto alla stessa unità di misura e ammesso inoltre che BF sia perpendicolare a EF, dimostrare che gli angoli dell’esagono aventi i vertici nei punti D, E, F sono uguali.
- Sotto le precedenti condizioni dimostrare che il quadrilatero BDEF è inscrivibile in un cerchio.
- Sotto le stesse condizioni del precedente punto b), spiegare in modo esauriente perché il quadrilatero ODEF è un rombo o perché non lo è.
Guida per la risoluzione.
- Punto 1a). Tenendo presente quanto vale la somma degli angoli interni di un esagono, basta far vedere che si presenta una situazione impossibile se si ammette che esso abbia più di tre angoli retti, mentre è possibile che ne abbia tre o meno di tre.
- Punto 1b). Sia ABCDEF l’esagono e siano retti gli angoli di vertici A, B, C (figura 1). Se esso fosse equilatero sarebbe FA=AB=BC=CD. E quindi D coinciderebbe con E, per cui non ci sarebbe più l’esagono.
figura 1
figura 2
- Punto 2a). Occorre dimostrare che è soddisfatta una certa condizione perché ciò avvenga. Qual è questa condizione?
- Punto 2b). Con riferimento alla figura 2, si può partire dalla conoscenza della misura dell’angolo
. Per la qual cosa si può far ricorso alla trigonometria piana ma non necessariamente. Poi basta fare dei conti.
- Punto 2c). Occorre dimostrare che è soddisfatta una certa condizione perché ciò avvenga. Qual è questa condizione?
- Punto 2d). Se il quadrilatero ODEF fosse un rombo, dovrebbe essere:
e
. È così?
Considerazioni supplementari.
Ammettendo le stesse ipotesi del punto 2b), si possono fare altre richieste, come per esempio:
- calcolare i raggi dei cerchi circoscritto e inscritto nel quadrilatero BDEF;
- calcolare la distanza dei centri di questi due cerchi;
- calcolare le distanze di O dai vertici dell’esagono.
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