Gli Elementi di Euclide

Gli Elementi di Euclide, il libro più letto al mondo dopo la Bibbia.

Della vita di Euclide si sa poco o niente.

Probabilmente studiò ad Atene e fu il fondatore della scuola matematica di Alessandria.

Euclide sta fra i grandi nomi della storia della matematica essenzialmente per aver scritto gli Elementi.

Quest’opera ha avuto un’influenza enorme su tutto il pensiero occidentale.

E’ stata studiata, analizzata e commentata secolo dopo secolo, fino all’epoca moderna. Di tutti i libri della civiltà occidentale solo la  Bibbia, s’è detto, è stata studiata più a fondo del testo di Euclide. I tanto celebrati Elementi non sono altro, in realtà, che una enorme raccolta ( divisa in 13 libri) di 465 proposizioni di geometria, piana e solida, e di teoria dei numeri. In generale oggi si ritiene che solo pochi di questi teoremi siano dovuti personalmente a Euclide. Il suo grande merito fu piuttosto quello di organizzare il sapere matematico del tempo in un trattato così ben progettato e di così grande successo da oscurare ogni precedente opera dello stesso genere.

Gli Elementi non sono però una semplice raccolta di teoremi con le relative dimostrazioni.

Dopo tutto, fin dai tempi di Talete i matematici hanno sempre dimostrato i loro teoremi.

Euclide fece di più: diede un ammirevole sviluppo assiomatico della materia, e questa è una differenza cruciale.

Gli Elementi iniziano con poche asserzioni di base: 23 definizioni, 5 postulati e 5 “nozioni comuni” o assiomi. Questi erano i fondamenti, i “dati” del suo sistema. Egli poteva usarli ogni volta che ne aveva bisogno. Partendo da questi fondamenti, dimostrò la sua prima proposizione. Fatto ciò, ancora una volta sulla base delle sue definizioni, postulati e nozioni comuni, con l’aggiunta della prima proposizione, poté dimostrare la seconda. E così via. Euclide, insomma, non si limitò a fornire delle dimostrazioni: le fornì all’interno di questo quadro assiomatico. Certamente Euclide non sempre riuscì a seguire scrupolosamente il proprio metodo e i suoi ragionamenti non sono esenti da difetti. Tuttavia gli Elementi, per l’alto livello di argomentazione logica raggiunto e per il loro successo nello sviluppare la matematica in un tessuto continuo, dagli assunti di base fino  alle conclusioni più sofisticate, rappresentarono un modello per tutto il lavoro matematico successivo.

Il Libro Primo

Il libro I comincia senza indugi con la lista delle 23 definizioni della geometria piana. Seguono i 5 postulati, le 5 nozioni comuni e le 48 proposizioni. Occorre soffermarsi sul quinto postulato:

Se una linea retta cade su due rette forma gli angoli interni e dalla stessa parte  minori di due angoli retti, le due rette prolungate illimitatamente si incontreranno da quella parte in cui sono gli angoli minori di due angoli retti.

Questo postulato, lo si vede subito, è differente dagli altri: la formulazione è più lunga, richiede una figura per essere ben compreso, e la sua verità sembra ben lungi dall’essere immediatamente evidente. E infatti molti matematici sentivano istintivamente che il quinto postulato, in realtà, era un teorema. Essi intuivano che Euclide non avrebbe dovuto assumerlo come vero: avrebbe dovuto semplicemente essere in grado di dedurlo dalle verità geometriche più elementari.

Euclide stesso, probabilmente, provava un senso di disagio al proposito: infatti, nel corso del Libro I, evitò accuratamente , finché gli fu possibile, di far ricorso al postulato delle parallele.

Mentre usava con disinvoltura e parsimonia gli altri postulati ogni volta che ne aveva bisogno, per tutte le prime 28 proposizioni non utilizzò mai il quinto postulato.

I Libri II – VI

Il Libro II esplora quella che oggi si chiamerebbe ” algebra applicata alla geometria”; infatti vi vengono presentati in termini geometrici relazioni che oggi sono trattate più rapidamente e facilmente come equazioni algebriche.

Il terzo Libro contiene 37 proposizioni su circonferenze e cerchi. (…) Euclide dimostra le proprietà fondamentali di corde, tangenti e angoli alla circonferenza.

Il Libro IV degli Elementi affronta il problema di come inscrivere e circoscrivere a una circonferenza certe figure geometriche. Euclide nel quarto Libro costruisce i poligoni regolari, cioè i poligoni i cui lati hanno tutti la stessa lunghezza e i cui angoli sono tutti uguali. Negli Elementi Euclide non dice altro sui poligoni regolari, ma era chiaramente  consapevole che, una volta costruiti tali poligoni usando la procedura di dimezzamento delineata prima, si potevano costruire poligoni regolari con un numero doppio di lati. Era davvero una bella galleria  di poligoni regolari costruibili, ma, come si vede, non li conteneva proprio tutti. Per esempio Euclide non parla mai della costruzione di un poligono regolare di 7 lati, né di 9, né di 17, poiché essi non si adattano al modello di duplicazione visto sopra.(…) Così molti matematici , nei secoli successivi, formularono esplicitamente l’ipotesi che Euclide non aveva mai espresso: forse i poligoni regolari presentati negli Elementi erano gli unici effettivamente costruibili mentre tutti gli altri erano fuori dalla portata di riga e compasso. A questo punto Euclide aveva esaurito tutta la geometria possibile senza il ricorso al concetto di similitudine.

Euclide dedica tutto il Libro V a sviluppare le idee di Eudosso.

Nel Libro VI Euclide intraprende lo studio vero e proprio delle figure simili nella geometria piana.

I libri VII, VII, e IX sono dedicati alla teoria dei numeri.

Il Libro VII comincia con una lista di 22 definizioni riguardanti le proprietà dei numeri naturali e prosegue  con la descrizione dell’algoritmo euclideo , una tecnica per trovare in modo sicuro e semplice il M.C.D di due interi. Nel Libro IX  Euclide dimostra il Teorema fondamentale dell’aritmetica. Importantissima la proposizione 20 del Libro IX: Esistono [sempre] numeri primi in numero maggiore di quanti numeri primi si voglia proporre. Dal Libro VII al IX, Euclide ha dimostrato in tutto 102 proposizioni sui numeri interi.

I libri X, XI, e XII sono dedicati alla geometria solida.

Con il Libro X, il più lungo e, a parere di molti studiosi, il più matematicamente raffinato dell’intera opera,  Euclide cambia bruscamente direzione. Dedica 115 teoremi alla investigazione del problema delle grandezze incommensurabili. Il Libro XI è dedicato alla geometria solida elementare, il successivo approfondisce l’argomento ed Euclide vi utilizza il metodo di esaustione introdotto da Eudosso per affrontare problemi come quello del volume di un cono. Arriviamo così al XIII ed ultimo libro degli Elementi. In 18 proposizioni vi si considerano i cosiddetti ” solidi regolari” della geometria spaziale e le loro relazioni.