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Gli isoperimetri da Galileo a Emma Castelnuovo

Didattica della matematica. Il problema degli isoperimetri nei Discorsi galileiani e le dimostrazioni delle proprietà del cerchio e della sfera.

Biagio Scognamiglio, qualche settimana fa, ha presentato l’opera Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze di Galileo Galilei nella versione per il lettore moderno curata da Alessandro De Angelis. Successivamente, in un diverso intervento, ha anche richiamato all’importanza di Galileo come letterato, sottolineando proprio la rilevanza dei Discorsi nell’ambito della letteratura.

A ciò deve aggiungersi un’altra particolarità dei Discorsi: il peso avuto in campo pedagogico fin dal loro primo apparire. Sono stati, infatti, un riferimento costante per docenti e studenti e una fonte ricchissima di ragionamenti e di esempi.  Il testo così ammodernato ne accresce dunque la fruibilità didattica.

Chi ha vissuto gli anni del rinnovamento dell’insegnamento della matematica ricorda certamente come citatissimo il passo della “prima giornata” che tocca il problema degli isoperimetri: due figure possono avere perimetri uguali ma aree diversissime, una molto più grande dell’altra.

E così accade anche per superfici e volumi.

All’istituto magistrale, dove ho occupato la cattedra di matematica e fisica nei primi anni ‘70 (del secolo scorso!), ricordo d’aver spesso portato le studentesse (il genere maschile era già suppergiù scomparso da quell’indirizzo di studio di cui si è già perso, forse, anche il ricordo del nome) a discutere, anche nelle ore del tirocinio didattico, sull’esperienza seguente:

Un foglio di quaderno può essere avvolto a cilindro in due modi a seconda che per altezza sia scelto il lato più lungo o quello più corto del foglio. A parità di superficie laterale (l’area del foglio rettangolare), quale dei due cilindri ha volume maggiore? Ovviamente il più grassottello. Quello dove il raggio è maggiore. Il volume (V = πr2h) dipende infatti dal raggio in modo quadratico e solo linearmente dall’altezza.

Nella prima giornata dei Discorsi Salviati discute appunto di questo: un fenomeno al quale la gente guarda con meraviglia.

Nella versione moderna di De Angelis il “fenomeno” è così descritto:

Con un pezzo di stoffa possiamo fare un sacco da farina, usando come si fa di solito una base di legno. Se la stoffa ha un lato più lungo dell’altro, il sacco sarà più capiente quando il lato corto del tessuto è utilizzato per l’altezza e il lato lungo è avvolto intorno alla base di legno, piuttosto che nell’altra disposizione. Così, ad esempio. da un pezzo di tessuto di 6 braccia lungo un lato e 12 lungo l’altro, può essere fatto un sacco che conterrà di più quando il lato di 12 braccia è avvolto intorno alla base di legno, lasciando l’altezza del sacco a 6 braccia, che quando il lato di 6 braccio viene avvolto alla base rendendo il sacco alto 12 braccia. […] impariamo non solo il fatto generale che un sacco contiene di più rispetto all’altro, ma otteniamo anche specifiche e particolari informazioni su quanto di più: ad esempio come in proporzione a quanto l’altezza del sacco diminuisce il contenuto di questo aumenti, e viceversa. Se usiamo i dati forniti (un tessuto lungo il doppio rispetto alla lunghezza), usando il lato lungo per l’altezza, il volume del sacco sarà la metà rispetto a quello che si avrebbe nella sistemazione opposta.

In merito Sagredo commenta esprimendo, con altrettanta meraviglia, i suoi dubbi anche con riferimento alle aree a ai perimetri:

[…] credo davvero che, tra coloro che non hanno ancora familiarità con la matematica e la geometria, difficilmente si troverebbero quattro persone su cento che a prima vista, non farebbero l’errore di credere che i corpi contenuti entro superfici uguali abbiano volumi uguali. Si commette lo stesso errore a proposito delle aree quando si tenta, come spesso si fa, di determinare le dimensioni di varie città misurando le loro linee di confine, dimenticando che il circuito di una può essere uguale al circuito di un’altra mentre l’area di una è molto più grande di quella dell’altra.  E questo è vero non solo nel caso di superfici irregolari, ma anche di superfici regolari, dove il poligono con il maggior numero di lati, ha l’area più grande tra tutti i poligoni di uguale perimetro.

Prosegue a questo punto Sagredo con l’enunciato e la dimostrazione del più significativo dei problemi degli isoperimetri:

tra tutte le curve chiuse di lunghezza assegnata il cerchio è quello che racchiude l’area maggiore.

La risposta di Salviati è solo parziale. Egli dimostra il teorema limitatamente ai poligoni isoperimetrici.

Non poteva fare di più Salviati.

Per la dimostrazione più generale del teorema, “fra tutte le curve chiuse”, bisogna attendere Jakob Steiner (1796-1863). La sua, peraltro, è una dimostrazione che ha solo un valore condizionale: se una tal curva esiste, allora è un cerchio. La dimostrazione è però elementare ed efficace. Si esegue in tre passaggi successivi:

  1. La curva deve essere convessa;
  2. la curva deve essere tale che ogni diametro che ne dimezzi il perimetro ne dimezza anche l’area, il che la dota di simmetria centrale;
  3. ogni punto su un semiarco S vede gli estremi di S sotto un angolo retto, ovvero la proprietà che Dante esprime coi versi: “o se del mezzo cerchio far si pote/ triangol sì ch’un retto non avesse”. Presuppone: l’area di un triangolo che ha due lati assegnati è massima quando l’angolo fra i due è retto.

La dimostrazione si trova ben esposta nel più che noto Che cos’è la matematica? di Courant e Robbins nel capitolo Massimi e Minimi che più ha influenzato il mondo della didattica. Le figure riportate in fondo chiariscono i passaggi dimostrativi 1-3. È una dimostrazione che porta a condividere con Sagredo che: «la forza di dimostrazioni robuste come quelle matematiche mi riempie di meraviglia e gioia».

Nel caso delle tre dimensioni vale il teorema corrispondente: tra tutti i solidi di uguale superficie la sfera ha il volume più grande. Anche di questa verità, una dimostrazione robusta, cioè completa e rigorosa, c’è: fu data per la prima volta da H.W. Schwarz. Ma è molto più complicata, tanto che neppure il testo di Courant e Robbins la riporta.

Per completare devo aggiungere che da un punto di vista didattico, dove conta la ricchezza dei punti di vista e dei modi di dire, è decisamente utile presentare il problema degli isoperimetri anche sotto forma di diseguaglianze:

Nel piano, essendo A e L rispettivamente l’area e la lunghezza della curva: A ≤ L2/4π

Nello spazio, essendo S e V, superficie e volume del solido: 36πV2 ≤ S3

il segno uguale valendo solo se si tratta del cerchio e della sfera, rispettivamente.

Non posso non ricordare, infine, quanto il tema degli isoperimetri abbia alimentato il buon insegnamento della matematica, l’importanza primaria ad esso assegnato dai programmi del 1979 per la scuola media, il fascino dei lavori realizzati da Emma Castelnuovo e dai suoi alunni ed esposti nelle mostre didattiche allestite in più d’una occasione.

Ecco, le figure che illustrano i passi 1-3 della dimostrazione di Steiner:

L’arco OQ’P simmetrico di OQP aumenta l’area racchiusa dalla curva lasciandone invariato il volume.

Se la retta dimezza il perimetro ma non l’area, quella più grande può essere ribaltata e ottenere così una curva che a parità di perimetro ha area maggiore.

A parità di perimetro, la curva a destra ha area maggiore di quella a sinistra, perché l’angolo in O è rettangolo. Ogni punto della curva vede gli estremi del diametro sotto angolo retto.

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