I grandi momenti della Matematica

I grandi momenti della storia della matematica

Howard Eves, storico della matematica, organizza la “sua” storia a partire dalla individuazione di alcuni “grandi momenti”. L’ultimo dei grandi momenti è la dimostrazione del teorema dei quattro colori ottenuta da Appel e Haken nel 1976. Alla lista si potrebbe dunque aggiungere la dimostrazione, ottenuta dopo la pubblicazione del lavoro di Eves, del “secondo teorema di Fermat” operata da Andrew Wiles (1995).

La lista dei “grandi momenti” stilata da Eves è la seguente :

1. La formula per il volume di un tronco di piramide a base quadrata
2. Il concetto di geometria deduttiva
3. Il teorema di Pitagora
4. La scoperta dei numeri irrazionali
5. La definizione di uguaglianza di rapporti di Eudosso
6. Lo sviluppo assiomatico degli Elementi di Euclide
7. Il metodo dell’equilibrio di Archimede
8. La costruzione delle tavole di corde ad opera di Tolomeo
9. Aritmetica di Diofanto
10. L’algebra sincopata
11. Il sistema di numerazione Indo-arabico
12. L’invenzione dell’abaco
13. La risoluzione geometrica di equazioni cubiche di Omar Khayyam
14. Il liber Abaci di L. Pisano
15. La formula di Tartaglia per la soluzione di equazioni cubiche
16. La formula di Ferrari per le quartiche
17. L’invenzione dei logaritmi
18. Le leggi del moto di Galileo
19. Le leggi di Keplero
20. La Geometria degli Indivisibili di Cavalieri
21. La geometria analitica di Descartes e Fermat
22. La nascita della probabilità matematica (1654)
23. L’invenzione del calcolo differenziale (1654)
24. Il teorema fondamentale del calcolo (1629 – 1680)
25. Le serie di Taylor e Maclaurin (1715, 1742)
26. La serie di Fourier (1807)
27. La scoperta della geometria non Euclidea (1829)
28. La scoperta di un’algebra non commutativa (1843)
29. La struttura di gruppo (1830 – 1860)
30. Il programma di Erlangen (1872)
31. L’aritmetizzazione dell’analisi ; il sistema dei numeri naturali come fondamento della matematica (fine del XIX secolo)
32. La teoria degli insiemi a fondamento della matematica (fine del XX secolo)
33. Gli spazi astratti (1906)
34. Il concetto di funzione ridefinito a partire dagli insiemi (inizio del XX secolo)
35. I numeri transfiniti ( 1874 – 1895 )
36. Le assiomatiche formali (XX secolo)
37. Una definizione di matematica (XX secolo)
38. Le metamatematiche (1899 – 1920)
39. Il teorema di incompletezza di Godel (1931)
40. Le moderne macchine elettroniche di calcolo (1944)
41. La soluzione del teorema dei 4 colori (1976)

7. Il metodo dell’equilibrio di Archimede

Della breve opera Il Metodo di Archimede (287-212 a.C.) si erano perdute le tracce a partire dai primi secoli dell’Era cristiana, fino alla sua riscoperta avvenuta nel 1906. Dall’insieme dell’opera e in particolare dall’Introduzione si ricava il metodo meccanico: esso risulta dalla felice combinazione di ragionamenti meccanici e di ragionamenti infinitesimali, ed è utile tanto per la determinazione di centri di gravità che per quadrature e le cubature delle figure piane.
Nei suoi tratti essenziali lo schema del nuovo metodo è il seguente: ogni figura si considera composta di elementi infinitesimali, che sono linee rette nel caso di figure piane e superfici nel caso di solidi. In ogni figura il numero degli elementi è infinito, ma Archimede dice soltanto che ogni figura è composta o riempita da tutti i suoi elementi. Il risultato di ciò che appariva riducibile, nel linguaggio moderno, ad una integrazione, e cioè il calcolo di un’area o di un volume, veniva ricondotto all’esistenza di un punto di equilibrio della massa geometrica. Se si ripensa, ad esempio, al calcolo archimedeo dell’area di un segmento parabolico, tutto qui viene ricondotto all’esistenza di un centro di equilibrio tra un triangolo e detto segmento trasferito in una regione opportuna del piano. Questo centro di gravità, capace di annullare, se sostenuto, gli sbilanciamenti provocati dal peso, esercita il suo potere di equilibrio sulla infinità dei segmenti rettilinei di cui si può immaginare “composto” rispettivamente il triangolo ed il segmento parabolico. Per questa funzione equilibratrice procede, da un punto, il bilanciamento di due aree, e, in ultima istanza, la scoperta di una perfetta armonia di rapporto tra l’area del segmento parabolico e l’area del triangolo inscritto: l’uno è i 4/3 dell’altro.
Infatti Archimede immaginava le aree del segmento parabolico ABC e del triangolo AFC, con FC tangente alla parabola in C, composte da una infinità di parallele al diametro QB della parabola.

Essendo KC = HK, un segmento rettilineo uguale a OP posto in H farebbe equilibrio al segmento OM , essendo K il fulcro, da cui l’area della parabola, posta in H, farà equilibrio al triangolo il cui centro di gravità è posto sulla linea KC ad un terzo della distanza da K a C. Pertanto l’area del segmento parabolico è 1/3 dell’area del triangolo AFC o 4/3 dell’area del triangolo ABC.

8. La costruzione delle tavole di corde ad opera di Tolomeo

L’opera trigonometrica più influente e significativa dell’antichità è la Sintassi Matematica di Tolomeo di Alessandria (presumibilmente nato alla fine del I secolo), nota però come l’Almagesto, che vuol dire “il più grande”, per l’abitudine data da altri autori (tra cui Aristarco) a chiamare l’opera con l’aggettivo megiste (maggiore).
In quest’opera sono presenti tavole trigonometriche (dette tavole di corde), per la cui costruzione un ruolo importante ha avuto quel teorema che oggi è noto proprio come il “teorema di Tolomeo”: “In un quadrilatero convesso inscritto in un cerchio la somma dei prodotti dei lati opposti è uguale al prodotto delle diagonali”, che ha per conseguenze le famose formule di addizione e sottrazione per la funzione seno e per la funzione coseno.
Tolomeo è stato il primo ad associare valori numerici a corde: per far ciò adottò qualche schema per suddividere la circonferenza e qualche regola per suddividere il diametro. Infatti la suddivisione della circonferenza era già nota ai greci e sembra essere stata tratta da considerazioni astronomiche, per cui i gradi venivano divisi in 60 partes minutae primae, ciascuna di queste in 60 partes minutae secundae, e così via. Veniva allora naturale dividere il diametro in 120 parti, ciascuna parte in 60 minuti e ciascun minuto in 60 secondi.
Una volta stabilito il sistema di misurazione si potevano calcolare le corde sottese dagli angoli. Infatti, poiché il raggio del cerchio conteneva 60 parti, la corda di un arco di 60 gradi conteneva anch’essa 60 parti lineari. Di conseguenza la corda di 120° diventa di 60 3, cioè composta, approssimativamente, da 103 parti, 55 minuti e 33 secondi.
Per calcolare le corde di 36° e 72° Tolomeo fece ricorso ad un teorema contenuto negli Elementi di Euclide, secondo cui il lato di un pentagono regolare, il lato di un esagono regolare e il lato di un decagono regolare, tutti inscritti nella medesima circonferenza, costituiscono i lati di un triangolo rettangolo. Quindi, sfruttando il teorema di Pitagora e le proprietà del pentagono e della sezione aurea, si trovò, ad esempio, che la corda di 36° è 30( 5 – 1).
Allora, conoscendo in un cerchio la corda di un arco di r gradi, Tolomeo, sfruttando i teoremi di Talete e di Pitagora, riusciva a calcolare la corda dell’arco 180°- r: poi, tramite le formule oggi dette di bisezione derivava le corde di archi sempre più piccoli, fino a giungere a dire che sin15’=0,00873 che è corretto fino “quasi” alla sesta cifra decimale.
Inoltre attraverso il calcolo di corde Tolomeo riuscì a trovare una “buona” approssimazione di p: infatti il valore della corda di (½)° corrisponde alla lunghezza di un poligono di 720 lati inscritto in un cerchio di raggio 60 unità, per cui p risulta essere circa uguale a 377/120 che corrisponde al numero decimale 3,1416.

9. Aritmetica di Diofanto

Diofanto di Alessandria, vissuto probabilmente tra il 150 ed il 250 d.C., viene spesso indicato come il “padre” dell’algebra, per via della sua opera più importante l’ “Arithmetica”, opera composta di tredici libri, di cui solo sei ci sono pervenuti. Il nesso tra aritmetica e algebra sembra non esserci dal nostro punto di vista, ma ricordiamoci che nell’antica Grecia il termine “aritmetica” indicava la teoria dei numeri e non il calcolo numerico e che , nell’opera citata, viene introdotto un metodo diverso da quelli allora precedentemente usati, metodo in cui non compaiono assolutamente procedimenti geometrici mentre si adottano alcune abbreviazioni.
L’Arithmetica è in gran misura dedicata alla soluzione esatta di equazioni sia determinate che indeterminate; in essa si fa uso sistematico di abbreviazioni per indicare potenze di numeri e per esprimere relazioni ed operazioni. Un’incognita viene indicata con un simbolo (che deriva dalla parola arithmos), il quadrato di tale incognita comeDg, il cubo come Kg, la quarta potenza (detta quadrato-quadrato) come DDg, la quinta potenza come DKg, la sesta potenza (cubo-cubo) come KgK.
Diofanto conosceva sicuramente le nostre “proprietà delle potenze” ed usava termini specifici per indicare i reciproci delle prime sei potenze dell’incognita; i coefficienti numerici veniva scritti dopo i simboli indicanti le potenze alle quali erano associati, l’addizione veniva rappresentata da una giustapposizione dei simboli indicanti i termini, mentre la sottrazione da una lettera posta davanti ai termini da sottrarre. Con queste semplici regole Diofanto riusciva a scrivere polinomi in una forma molto coincisa, simile alla nostra. Ad esempio l’espressione 2×4 + 5×3 – 3×2 –1 poteva essere scritta come QQ2 C5 M Q3 u1, dove si è indicato con Q il quadrato, con C il cubo, con M il meno e con u l’unità.
La differenza sostanziale tra la notazione diofantea e la notazione algebrica moderna sta nella mancanza di simboli specifici per esprimere relazioni ed operazioni, oltre che nell’assenza della notazione esponenziale. Tali elementi saranno introdotti durante il periodo compreso tra la fine del XV secolo e l’inizio del XVII secolo.

10. L’algebra sincopata

Florian Cajori (1859 – 1930), storico della matematica, classifica le età dell’algebra in retorica, sincopata, simbolica così come le aveva divise lo storico tedesco G.H.F. Nesselmann nel 1842.

a. Nel primo stadio l’algebra si chiama retorica (dal greco rhetor = oratore ) poiché, mancando i simboli, i problemi si esprimono a parole e le soluzioni sono frasi. Gli scritti dei Babilonesi, degli Egiziani, delle scuole neo-platonica e neo-pitagorica appartengono a questa prima algebra.

b. L’algebra sincopata (dal greco synkopé = tagliare, ridurre ) è quella in cui appaiono le prime abbreviazioni: Essa usa generalmente le parole, intercalando qua e là delle abbreviazioni per rendere più agile e spedito l’andamento del ragionamento e dei calcoli. Diofanto (vedi) determina l’inizio di questa nuova fase.

c. Nell’ultimo stadio l’algebra è simbolica: essa si stacca completamente dalle parole e si serve di lettere, di simboli, per rappresentare quantità note e incognite, e di segni per indicare le operazioni. Tale trasformazione è dovuta essenzialmente al grande algebrista F. Viete.

11. Il sistema di numerazione indo-arabico

Nell’opera Aryabhatiya scritta nel 499 dal matematico indiano Aryabhata si fa esplicito uso della numerazione posizionale decimale. Egli, infatti, scrive :”da una posizione all’altra ciascuna è dieci volte la precedente”, espressione che non lascia dubbi circa la chiarezza dell’applicazione del principio posizionale.
Lo sviluppo della notazione numerica ha seguito il passaggio dal sistema ripetitivo fino al sistema posizionale, passaggio avvenuto dopo aver scoperto che le cifre indicanti le prime nove unità possono servire anche come cifre per i corrispondenti multipli di dieci e di qualsiasi potenza di dieci. Da documenti a noi pervenuti sembra che tale cambiamento sia avvenuto in India, ma incerta è la fonte di ispirazione di questo passaggio.
Notiamo, tuttavia, che il riferimento a nove cifre, anziché a dieci, implica che gli indiani evidentemente non avevano ancora “conoscenza” dello zero.
In alcune opere arabe, come in quelle di Abu’l-Wafa (940-998), si usa la notazione numerica indiana, che aveva raggiunto l’Arabia attraverso l’opera astronomica “Sindhind”. Però con l’uso di questa notazione furono introdotte anche molte varianti nelle forme delle cifre usate. Ma, d’altra parte, sono i principi all’interno del sistema di numerazione che sono importanti e non le forme specifiche che possono assumere le cifre.
Quelle cifre che noi attualmente usiamo sono conosciute come “cifre arabiche” e non perché esse somiglino nella forma a quelle che effettivamente gli arabi usavano, ma perché i principi dei due sistemi, l’arabo e il nostro, sono gli stessi, anche se la forma di qualche cifra, come ad esempio l’uno ed il nove, è molto simile. Comunque poiché i principi tanto proclamati provengono presumibilmente dall’India, è meglio dare al nostro sistema numerico in nome di sistema indo-arabo.

12. L’invenzione dell’abaco

La notazione a bastoncini del 300 a.C. insieme ad un sistema posizionale centesimale, permise in Cina di effettuare calcoli con bastoncini disposti su una tavoletta, per cui funzionari dell’amministrazione si portavano dietro in una borsetta veri e propri bastoncini di canna di bambù, o di avorio, o di ferro, per servirsene nel fare i calcoli. Questi bastoncini venivano mossi con tale rapidità che uno scrittore dell’XI secolo scrisse: “Venivano mossi così rapidamente che l’occhio non riusciva a seguirne i movimenti”.
Ecco che nasceva la versione antica dell’abaco, formato da una cornice rigida con palline mobili infilate su fili di ferro. Le prime descrizioni precise della versione moderna dell’abaco (in Cina veniva detto suan phan, mentre in Giappone soroban) risalgono al XVI secolo, anche se forme arcaiche della “tavoletta” probabilmente erano in uso già da un millennio prima.
Il termine abaco sembra derivare dalla parola semitica abq, che significa “polvere”: questa circostanza ci porta a pensare che in altre regioni diverse dalla Cina tale strumento sia nato da una bacinella contenente polvere o sabbia usata come “tavoletta per il calcolo”.
Tuttavia non abbiamo a disposizione date precise per individuare dove e come sia nato l’abaco. Possiamo soltanto dire che l’abaco degli arabi aveva dieci palline infilate su ciascun filo di ferro e nessuna asta centrale, mentre l’abaco dei cinesi aveva infilate su ciascun filo di ferro cinque palline inferiori e due superiori separate da un’asticciola. Ciascuna delle palline superiori su un filo dell’abaco cinese è equivalente a cinque palline sul filo inferiore. Per individuare un numero si fanno scorrere le palline appropriate accostandole all’asticciola di separazione.

13. La risoluzione geometrica di equazioni cubiche di Omar Khayyam

Nell’Algebra di Omar Khayyam (1050-1122 ca) vengono fornite, per le equazioni di secondo grado, sia risoluzioni aritmetiche che geometriche, mentre per le equazioni di terzo grado solo soluzioni geometriche in quanto lo scienziato riteneva impossibile risolvere in modo algebrico tali tipi di equazioni.
Sappiamo che risoluzioni geometriche per equazioni cubiche erano già state date da Menecmo, Archimede e Alhazen, ma Khayyam generalizza il metodo di intersezione di coniche in modo da includere tutte le equazioni di terzo grado a radici positive (ricordiamo che il concetto di numero relativo non era stato ancora appreso).
Sinteticamente il metodo di Omar Khayyam è il seguente: sostituiamo, nell’equazione di terzo grado x3+ax2+b2x+c3=0 , il termine x2 con 2py, ottenendo : 2pxy+2apy+b2x+c3=0. Tale equazione rappresenta una iperbole mentre x2=2py rappresenta una parabola; tracciando le due curve nello stesso sistema di riferimento, le ascisse dei punti di intersezione delle due curve saranno, ovviamente, le radici dell’equazione di terzo grado data.
Evidentemente, poiché come già detto non si era in possesso del concetto di numero negativo, non si riuscivano a trovare tutte le radici dell’equazione di terzo data, ma è da sottolineare che nelle risoluzioni geometriche precedenti i coefficienti venivano rappresentati da segmenti, mentre nell’opera esaminata i coefficienti sono costituiti da numeri specifici: il balzo in avanti è notevole!

14. Il Liber abaci di L. Pisano

Il Liber abaci di Leonardo Pisano (1180-1250 ca), detto Fibonacci perché figlio di Bonaccio, fu pubblicato nel 1202 e, contrariamente a ciò che il titolo possa far pensare, non tratta dell’abaco, ma “discute” metodi e problemi algebrici.
Nel libro, trattando di transazioni commerciali, il Fibonacci fa uso di tre tipi di frazioni, le comuni, le sessagesimali e le frazioni a numeratore unitario, anche se, nella pratica, i tipi di frazioni più usate sono le frazioni comuni e quelle a numeratore unitario. A queste ultime è destinato un posto privilegiato: infatti il Liber abaci contiene delle vere e proprie tavole di conversione per passare da frazioni comuni a frazioni con numeratore unitario.
Ad esempio la frazione 99/100 veniva trasformata nella frazione ,
sottintendendo la somma tra le frazioni.
Un altro “trucchetto” notazionale presente nel testo è, a parte l’uso della sbarretta orizzontale (usata poi regolarmente soltanto a partire dal XVI secolo), la giustapposizione di frazioni a numeratore unitario e di numeri interi per indicare la somma (ad esempio invece di scrivere 11 scriveva 11 ).
Oltre alla spiegazione di procedimenti algoritmici ed alle transazioni commerciali, comunque il Liber abaci contiene alcuni problemi, tra cui i più famosi sono:
a) il notissimo “problema dei conigli”, che originò la “serie di Fibonacci”: ” Quante coppie di conigli verranno prodotte in un anno, a partire da un’unica coppia, se ogni mese ciascuna coppia dà alla luce una nuova coppia che diventa produttiva a partire dal secondo mese?”
b) un problema che forse era stato suggerito da un problema simile contenuto nel papiro di Ahmes: “Sette vecchie donne andarono a Roma; ciascuna donna aveva sette muli; ciascun mulo portava sette sacchi, ciascun sacco conteneva sette forme di pane; e con ciascuna forma di pane vi erano sette coltelli; ciascun coltello era infilato in sette guaine”.

15. La formula di Tartaglia per la soluzione di equazioni cubiche

Le formule risolutive delle equazioni cubiche vengono pubblicate, per la prima volta, nel 1545 nell’Ars Magna di Gerolamo Cardano (1501-1576), ma in realtà tali formule furono fornite al Cardano da Nicolò Tartaglia (1506 ca- 1557), il quale le trovò in maniera indipendente dal matematico Scipione dal Ferro (1465-1526), il primo a giungere a tal traguardo.
Però è da sottolineare che, a quanto scrive Cardano, egli ebbe da Tartaglia soltanto la formula risolutiva e non la dimostrazione della stessa, e la ebbe scritta in venticinque versi di cui i primi sono:

Quando che ‘l cubo con le cose appresso
Se agguaglia a qualche numero discreto
Trovan dui altri differenti in esso.
Da poi terrai questo per consueto
Che il lor prodotto sempre sia eguale
Al terzo cubo delle cose neto,
El residuo poi suo generale
Delli lor lati cubi ben sottratti
Varrà la tua cosa principale.
…………..

A dire il vero, leggendo tutti i versi scritti dal Tartaglia, in essi si trova non solo la formula ma anche la dimostrazione della regola di risoluzione dell’equazione x3 + px = q : eppure sembra che non se ne accorsero né Cardano, né Ferrari e nemmeno lo stesso Tartaglia.
Ora sappiamo che tale formula risolutiva è esprimibile come:

x = –

16. La formula di Ferrari per le quartiche.

Sempre nell’Ars Magna, Cardano scrive che la formula risolutiva delle equazioni di quarto grado “era dovuta a Ludovico Ferrari, che l’ha scoperta dietro mia richiesta”. Il procedimento attraverso cui si giungeva alla soluzione dell’equazione x4+px2+q=sx può essere sintetizzato in sei passaggi. Ad esempio, volendo risolvere l’equazione x4+4×2+36=60x si procede in questo modo:

1) si aggiunge ad entrambi i membri un termine in x2 in modo da rendere il primo membro un quadrato perfetto, nel nostro caso si aggiunge 8×2, così che si ha (x2+6)2;

2) si aggiunge in entrambi i membri una nuova incognita in modo che il primo membro rimanga un quadrato, per noi (x2+6+y)2=60x+8×2+y2+12y+2x2y ;

3) si ottiene, al secondo membro, ordinando secondo la x, un’equazione di secondo grado che vogliamo che sia un quadrato perfetto: a tal scopo basta uguagliare a zero il discriminante;

4) l’equazione ottenuta dal discriminante è un’equazione di terzo grado nota come la risolvente di Ferrari, risolta tramite la formula risolutiva delle equazioni cubiche;

5) il valore della y trovato si sostituisce nell’equazione di cui al punto 2 e si estrae la radice quadrata di entrambi i membri;

6) il risultato del quinto passaggio rappresenta un’equazione di secondo grado, facilmente risolvibile.

17. L’invenzione dei logaritmi

Lo scozzese John Napier (1550-1617), meglio noto come Giovanni Nepero, non era un matematico di professione, ma un ricco proprietario terriero, di famiglia nobile, che trascorreva il suo tempo amministrando i suoi vasti possedimenti e scrivendo su molteplici e svariati argomenti. Il suo interesse per la matematica era circoscritto ai contenuti che si riferivano al computo ed alla trigonometria.
Nepero stesso ci dice di aver lavorato all’invenzione dei logaritmi per vent’anni, per cui, visto che la pubblicazione dell’opera Mirifici logarithmorum canonis descriptio è del 1614, sembra che i suoi studi siano iniziati nel 1594, probabilmente dal riflettere sulle serie delle potenze successive di un dato numero.
Il fulcro dell’idea di Nepero è questo: per mantenere molto vicini tra loro i termini di una progressione geometrica delle potenze intere di un dato numero è necessario assumere come numero dato una cifra molto vicina all’uno. Sia questo numero 1 – 10-7 , che “equivale” a 0,9999999. Ma, in tal modo, i termini della progressione sono “troppo” vicini tra loro, per cui lo studioso scozzese moltiplicò ciascuna potenza per 107, in modo che, se N = 107(1 – 1/107)L, allora L è il logaritmo neperiano del numero N.
Ricordiamo, però, che la “regola meravigliosa” veniva, dal matematico scozzese, spiegata in termini geometrici, interpretando il logaritmo di una distanza PB, percorsa da un punto P lungo un segmento AB con velocità variabile decrescente in rapporto alla sua distanza da B, come la distanza variabile CQ percorsa da un punto Q lungo un segmento CE con velocità costante e pari a quella che P aveva all’inizio del moto.
Nepero costruì le sue tavole logaritmiche tramite ripetute moltiplicazioni equivalenti a potenze di 0,9999999 pur senza aver alcuna idea di una basa per il sistema. Una differenza tra i logaritmi di Nepero e i nostri logaritmi è che per i primi non vale la regola che il logaritmo di un prodotto (o di un quoziente) è sempre uguale alla somma (o alla differenza) di logaritmi.
Comunque lo scopo dell’invenzione dei logaritmi è da individuare nella semplificazione dei calcoli, soprattutto dei prodotti e dei quozienti, ed in particolar modo dei calcoli trigonometrici.

18. Le leggi del moto di Galileo

A Galileo Galilei (1564-1642) dobbiamo la nuova meccanica dei corpi in caduta libera, gli inizi della teoria dell’elasticità e l’appassionata difesa del sistema copernicano. Ma soprattutto a Galileo, più che ad ogni altro uomo di quell’epoca, dobbiamo lo spirito della scienza moderna basato sull’armonia tra esperimento e teoria, che sottolinea l’uso intensivo della matematica.
La nuova meccanica rappresenta il legame tra la fisica terrestre e l’astronomia e, nel Dialogo sopra i due massimi sistemi, Galileo introduce due principi che costituiscono il fondamento della meccanica: il principio d’inerzia e il principio di relatività (detto oggi principio di relatività galileiana). Il principio d’inerzia è dedotto da questo semplice ragionamento: la caduta di un corpo lungo un piano inclinato è accelerata e l’accelerazione è provocata dall’inclinazione del piano, così pure la salita di un corpo lanciato su un un piano inclinato è ritardata. Ne discende che un corpo in moto su un piano orizzontale illimitato, non essendo sottoposto né a cause di accelerazione né a cause di ritardo, prosegue di moto uniforme.
E’ notevole la capacità di astrazione che consente a Galileo di partire da alcune considerazioni connesse a semplici esperienze per formulare un’ipotesi teorica dalla quale, mediante formulazione matematica, vengono tratte conclusioni che l’esperienza dovrà confermare o respingere. Questo è il metodo sperimentale.
Nei Discorsi su due nuove scienze Galileo parte dal principio d’inerzia per studiare prima il moto uniforme (moto equabile) e poi il moto naturalmente accelerato.Il crollo della concezione aristotelica del moto è totale in quanto cade l’idea che il moto uniforme sia causato dall’azione di una forza continua che mantiene costante la velocità, come anche l’idea che la velocità sia proporzionale alla forza. Viene abbandonata la teoria secondo cui il moto è provocato dall’aria che occupa precipitosamente lo spazio lasciato libero dal corpo e, al contrario, l’aria è presentata come uno dei fattori che si oppongono al moto uniforme; viene chiarito il concetto di massa come rapporto costante tra forza e accelerazione. Il moto dei proiettili viene scomposto nei due componenti, orizzontale e verticale e la traiettoria descritta è di forma parabolica, come segue dal calcolo matematico effettuato e comprovato dall’esperienza.
Da notare la circostanza che lo scienziato usa già, in tutte le sue dimostrazioni, il concetto di rappresentazione grafica delle grandezze fisiche, secondo un metodo che la fisica acquisterà soltanto dopo lo sviluppo della geometria cartesiana.

19. Le leggi di Keplero

Lo scienziato tedesco Johann Kepler (1571-1630) era fortemente ispirato dalla sensibilità pitagorica per l’armonia matematica dell’universo e nel 1604, nei suoi Ad Vitellionem paralipomeni, pubblica la sua visione delle coniche tramite un principio che potremmo chiamare “di continuità”: dalla sezione conica formata soltanto da due rette intersecatisi, nella quale i due fuochi coincidono con il punto di intersezione, si passa gradualmente ad un numero infinito di iperboli man mano che un fuoco si allontana più dell’altro. Quando un fuoco è all’infinito non si ha più una iperbole a due rami ma una parabola; quando un fuoco, continuando a muoversi, passa “oltre” l’infinito e torna ad avvicinarsi dall’altra parte, si passa attraverso un numero infinito di ellissi e si giunge, quando i fuochi tornano a coincidere, ad una circonferenza.
Nel 1609, nella Astronomia nova, pubblica le sue due prime leggi sul moto dei pianeti: 1) i pianeti si muovono intorno al Sole descrivendo orbite ellittiche di cui il Sole occupa uno dei due fuochi; 2) il raggio vettore che congiunge un pianeta con il Sole spazza aree uguali in tempi uguali.
Nel trattare problemi relativi a simili aree, Keplero concepiva l’area formata da triangoli infinitamente piccoli con un vertice nel Sole e gli altri due vertici in punti infinitamente vicini appartenenti all’orbita.
La terza legge, formulata in tempi successivi, oggi è così enunciata: Detta R la distanza media Sole-pianeta, il cubo di tale distanza è proporzionale al quadrato del periodo T di rivoluzione.
Le leggi di Keplero rappresentano la prima decisiva vittoria di un modello eliocentrico poiché, non solo rendono conto dei dati sperimentali, ma collegano fra loro i moti dei pianeti in un modello generale applicabile anche a nuovi eventuali pianeti (o, aggiungeremmo noi, a satelliti artificiali).

20. La Geometria degli Indivisibili di Cavalieri

Bonaventura Cavalieri (1598-1647), membro dell’ordine religioso dei Gesuati, visse a Milano e a Roma prima di diventare professore di matematica a Bologna nel 1629. Come tutti gli studiosi si interessò a vari aspetti della matematica, ma la sua fama è legata all’opera Geometria indivisibilibus continuorum del 1635.
L’idea centrale è la seguente: ogni area si pensava formata da linee o indivisibili, così come un solido era composto da aree che erano volumi indivisibili. Senza accorgersene Cavalieri portava avanti la stessa idea espressa da Archimede nel suo “Metodo”!!!
Il metodo degli indivisibili può essere espresso proprio tramite quella proposizione che oggi chiamiamo proprio principio di Cavalieri: “Se due solidi hanno uguale altezza, e se le sezioni tagliate da piani paralleli alle basi e ugualmente distanti da queste stanno sempre in un dato rapporto, anche i volumi dei solidi staranno in questo rapporto”.
Un teorema estremamente significativo contenuto nell’opera di Cavalieri è la formulazione e la dimostrazione del teorema che oggi tradurremmo in

Certamente la formulazione e la dimostrazione di Cavalieri non sono in termini infinitesimali ma geometrici, tuttavia nulla sminuisce la grandiosità del matematico.

21. La geometria analitica di Descartes e Fermat

Le figure più eminenti della prima metà del ‘600 sono state senza dubbio René Descartes (Cartesio, 1596-1650) e Pierre de Fermat (1601-1665).
Nel celebre trattato “Discorso sul metodo per ragionare bene e cercare la verità nelle scienze” (1637), Cartesio annunciava il suo “programma” di ricerca filosofica: attraverso il dubbio sistematico si possono raggiungere le idee chiare e distinte da cui è possibile dedurre moltissime conclusioni valide. Applicando detto metodo alla scienza, si ottiene un universo costituito da materia in continuo movimento, e tale che ogni fenomeno può essere spiegato tramite le leggi della meccanica.
Dal punto di vista matematico, fondamentale fu per Cartesio il lungo e freddo inverno del 1619 trascorso a seguito dell’esercito bavarese: il matematico era solito rimanere a letto fino a metà mattinata per risolvere o formulare problemi matematici. Proprio in questo lasso di tempo Cartesio scopre la formula per i poliedri (oggi detta formula di Eulero), secondo cui la somma dei vertici e delle facce di un poliedro convesso è uguale al numero degli spigoli aumentato di 2. E, in una lettera del 1628 indirizzata ad un amico, vi è la regola per la costruzione delle radici di una qualsiasi equazione di terzo o quarto grado tramite l’equazione della parabola.
Non è noto se nel 1628 Cartesio avesse già elaborato in modo completo la sua geometria analitica, ma sicuramente lo fece poco più tardi. Infatti nel trattato La géométrie (una delle tre appendici al Discorso) sono contenuti tutti i principi della geometria analitica, anche se, è da precisare, la geometria cartesiana aveva come intento una “costruzione geometrica” (le prime righe del La géométrie sono: “Tutti i problemi della geometria si possono facilmente ridurre a tali termini, che in seguito per costruirli basta conoscere la lunghezza di alcune rette”) e non il ricondurre la geometria all’algebra.
Comunque Cartesio usava sistematicamente l’algebra simbolica e sviluppava la sua interpretazione geometrica dell’algebra, cosicché possiamo dire che egli da un lato voleva “liberare” la geometria dal ricorso a figure (tramite i procedimenti dell’algebra), e dall’altro dare un significato alle operazioni algebriche mediante un’interpretazione geometrica. Allora il procedimento seguito da Cartesio lo possiamo così sintetizzare: si parte da un problema geometrico, lo si traduce in linguaggio algebrico (equazione) e, dopo avere opportunamente semplificato l’equazione ad esso associata, si risolve tale equazione geometricamente. Questo è il metodo che Cartesio seguì nello studio del problema di Pappo del luogo geometrico relativo a tre o più rette, studio da cui nacque la classificazione dei problemi geometrici determinati.
Inoltre è da sottolineare che nell’opera più volte citata non si fa uso sistematico di coordinate ortogonali, ma si usano, indifferentemente, anche coordinate oblique; non troviamo alcuna formula per la distanza o per l’angolo formato da due rette, come non troviamo il grafico di alcuna curva “nuova” tracciato a partire dall’equazione. Delle coordinate negative Cartesio conosceva soltanto che erano orientate in senso inverso rispetto a quelle positive e il principio fondamentale della geometria analitica (quello secondo cui le equazioni indeterminate in due incognite corrispondono a luoghi geometrici) compare soltanto nel secondo libro.
Ciò nulla toglie all’importanza ed alla grandezza di questo meraviglioso trattato, ma serve a far comprendere la diversità “storica” dei modi di ragionare e di intendere la matematica.
Nel 1636, possiamo dire contemporaneamente alla pubblicazione del “Discorso” di Cartesio, Fermat, ricostruendo i “Luoghi piani” di Apollonio alla luce di quanto contenuto nella “Collezione matematica” di Pappo, scopre il già citato principio fondamentale della geometria analitica. Anche in questo caso il principio non nasceva da considerazioni pratiche, ma dall’applicazione dell’algebra a problemi della geometria antica.
Però per Fermat, a differenza di Cartesio, era importante abbozzare soluzioni di equazioni indeterminate invece che di equazioni determinate ed inoltre nel suo breve trattato “Ad locos planos et solidos isagoge” , invece di partire come il suo contemporaneo da tre o più rette una delle quali scelta come asse delle ascisse , Fermat parte dall’equazione lineare e sceglie un sistema di coordinate arbitrario nel quale rappresentarla.
Fermat inizia con il rappresentare graficamente l’equazione “D in A aequetur B in E” (Dx=By) che, naturalmente, rappresenta una semiretta uscente dall’origine (non si usano coordinate negative), per poi passare, successivamente, all’equazione ax+by=c2 , all’equazione xy=k2 (che mostra essere una iperbole), all’equazione a2 x2 = by (che mostra esser una parabola), all’equazione x2+y2+2ax+2by = c2 (che mostra essere una circonferenza), all’equazione a2+x2=ky2 (che mostra essere un’iperbole) e all’equazione a2-x2=ky2 (che mostra essere un’ellisse).
Notiamo che la geometria analitica di Fermat è più vicina alla nostra perché le coordinate usate erano ortogonali.

22. La nascita della probabilità matematica (1654)

Ricordiamo brevemente che, prima di assiomatizzarsi, la probabilità fu legata alla semplice valutazione della facilità con cui un certo avvenimento aveva luogo o meno. La teoria della probabilità nasce da problemi strettamente pratici: il gioco d’azzardo e il problema delle parti.
Quest’ultimo problema consiste nel calcolo di come deve essere divisa la posta di una certa partita se tale partita viene interrotta prima che vi sia un vincitore. Il primo esempio di un problema di questo tipo si trova nella “Summa” di Luca Pacioli (1445-1514), ma nel 1654 due grandissime menti, quelle di Fermat e di Blaise Pascal (1623-1662), in un carteggio costituito da sei lettere (tre per parte) trattano sia il problema delle parti sia il gioco dei dadi.
Infatti il Chevalier de Méré, gran giocatore e pratico di matematica, pone a Pascal il seguente problema: gettando un dado otto volte un giocatore deve tentare di fare uno, ma dopo tre tentativi non riusciti il gioco viene interrotto; in che misura ha diritto alla posta?
Di qui nasce il carteggio di cui sopra, perché Pascal scrive e propone a Fermat il problema: entrambi i matematici non sembrano conoscere i precedenti di tali problemi (anche Cardano si occupò del gioco dei dadi) e mostrano di affrontare un problema assolutamente nuovo.
Pascal collegò lo studio della probabilità al triangolo aritmetico (il nostro triangolo di Tartaglia), rivelando nuove proprietà del triangolo e mettendo a punto un procedimento che consente di ottenere rapidamente la soluzione del problema delle parti senza ogni volta ripetere tutti i ragionamenti (procedimento ricorsivo). Fermat trovò un altro metodo per ottenere le stesse soluzioni trovate da Pascal, metodo applicabile facilmente anche a più di due giocatori, cosa che non può dirsi per il procedimento di Pascal.
Sebbene né Pascal né Fermat riuscirono a dare una stesura sistematica dei loro risultati, è proprio dalla loro corrispondenza che nasce quella che noi oggi chiamiamo probabilità matematica.

23. L’invenzione del calcolo differenziale

Gli storici non sono concordi nello stabilire “chi per primo” abbia formulato un procedimento che possa essere considerato la prima forma di derivazione.
C’è chi attribuisce al matematico René Francois de Sluse (1622-1685), nato nei Paesi Bassi, tale primato in virtù di una regola, trovata nel 1652, per determinare la tangente ad una curva di equazione f(x,y)=0 con f polinomio. Tale regola, rimasta inedita fino al 1673, può essere così formulata: la sottotangente sarà il quoziente ottenuto ponendo al numeratore tutti i termini contenenti la y, moltiplicati ciascuno per l’esponente della potenza di y che compare in essa, e ponendo al denominatore tutti i termini contenenti la x, moltiplicati ciascuno per l’esponente della potenza di x che compare in essa e poi divisi per x. Ciò equivale, diremmo oggi, a scrivere yfy/fx, così che la sottotangente risulta t= ydx/dy, partendo dall’uguaglianza fxdx=-fydy.
C’è chi, invece, risale al già più volte citato Pierre de Fermat che, nel suo trattato Methodus ad disquirendum maximam et minimam del 1637, elaborò un metodo brillante per individuare i punti in cui una funzione assume un valore massimo o minimo. Infatti il matematico confrontò il valore della funzione f(x) in un certo punto di ascissa x con il valore f(x+e) in un certo punto di ascissa x+e molto vicino ad x. In generale questi due valori sono diversi, ma nel punto più alto o più basso di una curva la loro differenza sarà quasi impercettibile: pertanto per determinare i punti di massimo e minimo Fermat uguagliò f(x) a f(x+e). Quanto più piccolo è l’intervallo “e” tra i due punti tanto più la pseudo-uguaglianza si avvicina all’uguaglianza, per cui, una volta diviso il tutto per “e”, il matematico pose e=0. Questo procedimento, diremmo oggi, non è niente altro che il calcolo del limite per “e” che tende a 0 del rapporto incrementale

uguagliato a 0: quello che noi a tutt’oggi facciamo!!

24. Il teorema fondamentale del calcolo

Nel 1629 Pierre de Fermat giunse a formulare un teorema concernente l’area compresa da curve del tipo y=xm, teorema poi pubblicato nel 1635 e nel 1647 ad opera di Cavalieri. Per trovare l’area compresa dalla suddetta curva nell’intervallo compreso tra x=0 e x=a, Fermat suddivideva l’intervallo in un numero infinito di sottointervalli prendendo i punti di ascisse a, ae, ae2, ae3,…, con “e” quantità minore di 1. Da questi punti tracciava le ordinate alla curva ottenendo un’approssimazione dell’area compresa sotto la curva per mezzo di rettangoli.

Man mano che i rettangoli diventavano più sottili la somma delle aree dei rettangoli si avvicinava all’area richiesta.
Tale procedimento era applicabile sia per m intero che per m frazionario, mentre perdeva di significato per m=-1. Tuttavia un matematico fiammingo Gregorio di San Vincenzo (1584-1667) risolse il problema, nell’opera Opus geometricum del 1647, mostrando che se lungo l’asse x si segnava, a partire da x=a, una serie di punti in modo che gli intervalli compresi tra essi crescessero in proporzione geometrica, e se da questi punti si tracciavano le ordinate all’iperbole xy=1, allora le aree delimitate dalla curva e dalle ordinate successive erano uguali. Ciò equivaleva a dire che

Comunque dobbiamo arrivare fino al 1670 per l’intuizione di quello che oggi chiamiamo il teorema fondamentale del calcolo, cioè la reciprocità delle operazioni di derivazione e di integrazione. Infatti il matematico Isaac Barrow (1630-1677), nell’opera Lectiones geometricae del 1670, spiega un metodo delle tangenti che era molto simile a quello usato da Fermat, ma che “scomodava” due quantità equivalenti alle odierne Dx e Dy. Con questo metodo si stabilì una correlazione tra rette tangenti alle curve in studio ed aree di regioni di piano da esse limitate, cioè proprio il legame sopra citato.
Il procedimento di Barrow, in termini moderni, può essere così espresso. Si disegnano due sistemi di riferimento cartesiani aventi in comune l’origine e l’asse delle ascisse e con gli assi delle ordinate orientati in modo opposto, ed in essi due funzioni, y=f(x) nel sistema orientato verso il basso e y=F(x) in quello orientato verso l’alto. La funzione F (x) è tale che in ogni punto x0 il valore F(x0) è uguale all’area della regione limitata dagli assi cartesiani, dalla funzione y=f(x) e dalla retta di equazione x=x0. Barrow dimostrò che vi è un duplice legame tra le due funzioni: partendo dal diagramma di f(x) si può costruire quello di F(x) tramite il calcolo delle aree dei trapezoidi relativi ad f(x), mentre partendo dal grafico di F(x) si può, tramite il calcolo dei coefficienti angolari delle tangenti (derivate) nei punti assegnati, disegnare quello di f(x).
Mancava però ancora una sistemazione rigorosa a tutto ciò: fu compiuta, in modo indipendente l’uno dall’altro, da Newton (1642-1727) e da Leibniz (1646-1716) ai quali si attribuisce la paternità del calcolo infinitesimale.

25. La serie di Taylor e Maclaurin

La cosiddetta serie di Maclaurin (1698-1746), che apparve nel trattato Treatise of Fluxions del 1742, rappresenta solo un caso particolare della serie di Taylor (1685-1731), pubblicata nel 1715 nell’opera Methodus incrementorum directa et inversa, così espressa

Questa serie si trasforma in quella di Maclaurin mediante la sostituzione di a con zero.
Da notare che la serie di Taylor era già nota molto tempo prima a Gregory e, nella sostanza, a Jean Bernoulli, mentre quella di Maclaurin era stata usata dodici anni prima da Stirling!

26. La serie di Fourier

Joseph Fourier (1768-1830) diventò insegnante di matematica dapprima nella scuola militare della città di Auxerre e successivamente all’Ecole Normale e all’Ecole Politechnique; nel 1798 si unì a Monge per accompagnare Napoleone nella spedizione egiziana e, ritornato in Francia, si dedicò alle sue ricerche scientifiche, ricerche già avviate nella spedizione egiziana.

L’opera più famosa di Fourier è la celebre Théorie analytique de la chaleur (1822), opera definita da Lord Kelvin come “un grande poema matematico” ed in cui il matematico rende rigorosa un’idea avuta già da Daniel Bernoulli, cioè che una qualsiasi funzione y=f(x) può venire rappresentata tramite una serie della forma:

y = a0/2 + a1cosx + a2cos2x + …+ ancosnx + b1senx + b2sen2x + … + bnsennx + …

Tale espressione è nota oggi, appunto, come serie di Fourier, e permette di studiare tipi di funzione più generali rispetto a quanto consentito dalla serie di Taylor. I coefficienti di questo sviluppo sono:

Una serie di Fourier non sempre converge verso il valore di una funzione dalla quale essa è derivata, ma L. Dirichlet nel 1828 dimostrò il teorema secondo cui se f(x) è periodica di periodo 2p, e se per -p<x<p la funzione ha un numero finito di valori di massimi e minimi e presenta un numero finito di punti di discontinuità, e se l’integrale è finito, la serie di Fourier converge verso f(x) in tutti i punti in f(x) è continua, mentre nei punti di discontinuità converge verso la media aritmetica dei limiti a destra e a sinistra della funzione.

27. La scoperta della geometria non-euclidea

La data del 1829 segna ufficialmente la nascita della geometria non-euclidea: in quest’anno Lobacevskij pubblica sul “Kazanski Vestnik” (Gazzetta di Kazan) il saggio “O nacalach geometrii” (Sui principi della geometria), saggio che rappresenta la prima dichiarazione dell’esistenza di una geometria valida diversa da quella euclidea. In realtà già dal 1826 Lobacevskij parlava più o meno ufficialmente di questa “nuova” geometria ed era pienamente convinto che il quinto postulato di Euclide non potesse essere dimostrato sulla base degli altri quattro.
L’opera già citata si fonda su un’ipotesi che, naturalmente, è in netta contraddizione con il postulato delle parallele: per un punto C esterno alla retta AB si possono tracciare infinite rette che non incontrano la retta AB. Da questo nuovo postulato si deduce tutta una nuova geometria priva di contraddizioni logiche interne, detta dallo stesso autore geometria immaginaria o pangeometria.
Lobacevskij era perfettamente consapevole del profondo significato della sua opera, tanto che dal 1835 al 1855 redasse tre diverse esposizioni complete della sua geometria, i Nuovi principi della geometria del 1835/38, le Ricerche geometriche sulla teoria delle parallele del 1840 e la Pangeometria del 1855.
Leggendo queste opere, in particolare la seconda, Gauss venne a conoscenza dei lavori di Lobacevskij, di cui elogiò le capacità e le ricerche senza mai volersi esporre per paura delle grida dei “beoti”.
Nello stesso anno della pubblicazione dei “Sui principi della geometria” di Lobacevskij, un altro matematico giunse alla stessa conclusione: Janos Bolyai, ma la sua opera fu pubblicata soltanto nel 1832.

28. La scoperta di un’ algebra non commutativa

William Rowan Hamilton (1805-1865) compì i suoi studi al Trinity College di Dublino, dove, all’età di ventidue anni (ancora studente!!), fu nominato Astronomo reale d’Irlanda, Direttore dell’Osservatorio di Dunsink e Professore di Astronomia. Egli era convinto che così come la geometria è la scienza del solo spazio, analogamente l’algebra deve essere la scienza del tempo puro.
Nel 1833 presentò una memoria all’Accademia Irlandese nella quale introduceva un’algebra formale di coppie di numeri reali le cui regole di composizione sono esattamente quelle che usiamo oggi per le operazione con i numeri complessi. In particolare la regola della moltiplicazione può essere scritta come: (a, b) (c, d) = (ac-bd, ad+bc)
Lo scienziato tentò di estendere la sua idea allo spazio tridimensionale, passando, cioè, da a+bi a terne del tipo a+bi+cj. In tale ottica l’operazione di addizione non presentava difficoltà, ma quella di moltiplicazione sì! Così un giorno del 1843, mentre passeggiava con la moglie lungo il Royal Canal, ebbe un’ispirazione: tutte le difficoltà sarebbero svanite se invece di terne si fossero usate quaterne (quaternioni) e se si fosse abbandonata la proprietà commutativa della moltiplicazione. Era già noto che, nel caso di quaterne del tipo a+bi+cj+dk, si doveva assumere i2=j2=k2= -1; a questo Hamilton aggiunse ij=k, ji=-k, jk=i=-kj e ki=j=-ik. Per gli altri aspetti le regole di operazione erano identiche a quelle dell’algebra ordinaria. Hamilton, allora, si arrestò nella sua passeggiata e con un coltello incise la formula fondamentale i2=j2=k2=ijk su una pietra del Brougham Bridge.
Hamilton “creò” così una nuova algebra, abbandonando il postulato della legge commutativa del prodotto: il significato profondo è proprio in questo, la “libertà” di cui gode la matematica nella costruzione di algebre non necessariamente soggette alle cosiddette “leggi fondamentali”.

29. La struttura di gruppo

A nessun matematico spetta il merito di aver introdotto l’idea di gruppo, ma colui che maggiormente ci lavorò ed a cui si deve il nome è Evariste Galois , morto tragicamente nel 1832 all’età di vent’anni.
Le ricerche di Galois furono incentrate sulla determinazione dei casi in cui le equazioni polinomie fossero risolvibili tramite radicali. Gauss aveva già risolto la questione della risolubilità dell’equazione a0xn + an = 0 in termini di operazioni razionali ed estrazioni di radici quadrate; Galois generalizzò il risultato ad un’equazione del tipo a0xn + a1xn-1 + … + an-1x + an = 0 , naturalmente coinvolgendo l’estrazione di radici n-sime.
Il matematico francese partì da alcuni lavori di Lagrange sulle permutazioni delle radici di un’equazione polinomia, che sappiamo soddisfare le proprietà: a) l’insieme degli elementi è chiuso rispetto all’operazione; b) l’insieme contiene un elemento di identità rispetto all’operazione; c) per ogni elemento dell’insieme esiste un elemento inverso rispetto all’operazione; d) l’operazione è associativa. Allora l’insieme di tutte le permutazioni costituisce un “gruppo”, e se questi elementi sono le radici di un’equazione irriducibile, le proprietà del gruppo simmetrico forniscono le condizioni necessarie e sufficienti perché l’equazione sia risolvibile mediante radicali.
Galois scoprì che un’equazione algebrica irriducibile è risolvibile mediante radicali se e solo se il suo gruppo (gruppo simmetrico delle radici) è risolvibile.

30. Il programma di Erlangen

Felix Klein (1849-1925) rimase profondamente colpito dalle possibilità unificatrici offerte dal concetto di gruppo, tanto che, nel 1872, in un celebre discorso inaugurale in occasione della nomina a professore, mostrò come questo concetto potesse essere impiegato quale mezzo per caratterizzare le varie geometrie che erano comparse nel corso del secolo.
Infatti, Klein descrisse la geometria come lo studio delle proprietà delle figure invarianti rispetto ad un particolare “gruppo” di trasformazioni.
Ad esempio la geometria euclidea del piano è lo studio delle proprietà delle figure (comprese aree e lunghezze) invarianti rispetto al gruppo delle traslazioni e delle rotazioni, le cosiddette trasformazioni “rigide” di equazioni

dove ae-bd=1.
Se si generalizza la condizione suddetta, cioè se ae-bd 0, le nuove trasformazioni formano anch’esse un gruppo che caratterizzano la cosiddetta geometria affine, detta così perché un punto finito si trasforma in un altro punto finito e secondo cui le lunghezze e le aree non rimangono necessariamente invariate, ma una conica di un dato tipo (parabola, ellisse, iperbole) resterà dello stesso tipo.

E’ chiaro, allora, che la geometria euclidea è un caso particolare della geometria affine, così come la geometria affine è un caso particolare della geometria proiettiva, caratterizzata dalle trasformazioni seguenti:

e dalle seguenti proprietà: a) una conica viene trasformata in un’altra conica; b) il birapporto rimane invariante.