I grandi teoremi della matematica

I dodici grandi teoremi della matematica selezionati da Dunham

William Dunham, in  Viaggio attraverso il genio, Zanichelli, 1992, ha organizzato la “sua” storia della matematica sulla base dell’individuazione di 12 grandi teoremi :

1. La quadratura della lunula
2. Il teorema di Pitagora
3. L’infinità dei numeri primi
4. L’area del cerchio
5. La formula di Erone
6. La soluzione della cubica ad opera di Cardano
7. Il calcolo di π col metodo di Newton
8. La divergenza della serie armonica
9. La valutazione di 1+1/4 + 1/9 +…+ 1/k²      [Vedi anche]
10. La confutazione di Eulero della congettura di Fermat
11. La non numerabilità del continuo
12. Il teorema di Cantor

La lista di W. Dunham è un contributo notevole a ragionare di storia e di matematica. Si può essere d’accordo o meno. Propendere per qualche integrazione o sostituzione, ma è innegabilmente un modo nuovo di affrontare la matematica e la sua storia.

Prima di esprimere un giudizio sulla lista occorre ovviamente conoscerne motivazioni e finalità.

Il viaggio di Dunham è un viaggio storico.

Nasce dalla instaurazione di una analogia inesplorata: “discipline diverse come la letteratura, la musica e l’arte hanno tutte una loro tradizione critica di esame dei capolavori – i grandi romanzi, le grandi sinfonie, i grandi quadri – che sono considerati gli oggetti di studio più rappresentativi e illuminati. Con questo taglio si scrivono libri e si tengono corsi, al fine di consentire una maggiore familiarità con le pietre miliari della disciplina e con le donne e gli uomini che l’hanno creata“.

Quale l’analogo, in matematica, del capolavoro artistico?

Quali le pietre miliari della disciplina? Il taglio con cui si scrivono i libri di matematica non è questo! Profondamente diverso è poi il modo di studiarla e di presentarla: un unico grande romanzo. Una sola grande sinfonia cui molti e progressivamente pongono mano, facendone poi perdere le tracce.

L’atto di concretizzazione dell’ideata analogia porta comunque Dunham a individuare il teorema, il grande teorema quale vera unità creativa della matematica come il romanzo o la sinfonia lo sono rispettivamente per la narrativa e la musica.

Come i letterati selezionano autori e capolavori nella descrizione di una storia della letteratura, Dunham ha selezionato i suoi capolavori. Sono i grandi teoremi che si prestano a delineare un itinerario, un altro viaggio attraverso il genio.

Quello di Dunham è un viaggio storico che tiene conto:

1. degli uomini: i geni che hanno intravisto ed aperto nuove strade;
2. dell’importanza del risultato. Ad esempio per le lunule di Ippocrate l’aver sconfessato l’opinione che aree racchiuse da curve dovessero tutte coinvolgere π .
3. della dimostrazione: è il ragionamento deduttivo la vera chiave dell’interpretazione storica, del sigillo di capolavoro, ed è anche caratteristica fondamentale dell’insegnamento (fa parte, peraltro, dell’esperienza di ogni insegnante la consapevolezza che l’alunno che ha capito la sua prima dimostrazione, ha stabilito un rapporto fecondo con la matematica).

Così posto il lavoro di Dunham non può non mostrare una sua rilevanza pedagogica e il suo viaggio porsi come un effettivo itinerario didattico dove l’ordine e la continuità del discorso e dello sviluppo della matematica sono ricostruite e riassemblate a partire da tappe ritenute significative. Un bell’esempio di quello che dovrebbero essere gli obiettivi formativi delle moderne Indicazioni Nazionali per i piani di studi della scuola italiana dell’autonomia.

Il valore della lista di Dunham

Se i nostri alunni al termine del loro corso di studi sapessero parlare di ciascuno degli argomenti della lista di Dunham o degli  argomenti, concetti e procedure appartenenti ad una qualsiasi altra lista stilata con un occhio rivolto a quei traguardi di cui prima si è discusso, certamente potremmo essere più soddisfatti. La società avrebbe più conoscenze matematiche e meno da lamentarne la carenza. C’è, è ovvio, il rischio di una accusa di cannibalismo, di voler fare a “pezzi” la matematica. Ma non è così.

L’intento non è quello di produrre lacerazioni nel corpo della matematica. E non è neppure quello di stilare classifiche o hit-parade di risultati. È’ piuttosto, quello di richiamare e fissare l’attenzione su alcuni caratteri, – storici, estetici, applicativi, spaziali, dialettici – di modo che la riflessione su di essi porti inevitabilmente a staccare, estrapolare quel particolare risultato o formula o teorema dal suo contesto della comunicazione o derivazione standard o meglio dire dalla sua postazione nella sequenza dell’apprendimento canonico. A considerarlo, esaminarlo, ammirarlo anche, come un quadro, un’opera d’arte cogliendone la portata e la ricchezza di significato. A vederlo e chiarirlo nella sua interezza. Ad individuarlo, infine, quale punto nodale di una robusta rete didattica.

L’insegnamento della matematica, infatti, non può essere pensato in modo lineare.

Non può essere assimilato ad un segmento che ha un inizio e una conclusione. Nè per una classe nè per un ciclo di studi. La matematica non ha una struttura e una organizzazione ben definite, atte a riconoscere oggettivamente ciò che viene prima e ciò che viene dopo nella sua costruzione. Una lista di concetti può essere considerata primitiva in una data organizzazione e gli stessi concetti essere secondari in un’altra. Manca cioè una organizzazione standard o canonica della matematica. Una sistemazione da tutti riconosciuta che possa costituire il riferimento forte e sicuro per una linea pedagogica altrettanto chiara e condivisa. Detto altrimenti sarebbe bene che un docente in una determinata classe, a determinati allievi potesse indicare, anche preventivamente, quattro o cinque o più risultati ( teoremi, procedure, concetti, ecc..) “nodali”, punti di “singolarità”. E con essi progettare di conseguenza ( le nozioni propedeutiche, gli esercizi, gli approfondimenti, i legami, ecc..). Quindi costruire la sua “rete” didattica e, quel che più conta, su quegli argomenti poterne parlare e discutere, scrivere e leggere (leggere di matematica !)

Nella storia della matematica intesa anche più in generale come storia delle idee matematiche chiunque può vedervi un campo sconfinato ed indominabile di racconti e di risultati.

A Giancarlo Rota  è dovuta la seguente illuminante osservazione:

ho conosciuto matematici che si sono votati allo studio della storia della loro disciplina. Hanno cominciato abbastanza giovani volendo partire dalle origini. La conclusione è stata che sono morti ultranovantenni senza andare al di là della matematica greca.

Oggi è particolarmente enfatizzata la tendenza ad organizzare la storia segnando qualcosa. La tendenza è a   discretizzare ciò che appare ontologicamente continuo: la freccia del tempo. Si realizzano così significativi  tentativi di riorganizzazione concettuale e il porsi di legami profondi e produttivi tra scienza e comunicazione.

Abbiamo storie organizzate per “grandi momenti” (Howard Eves), “grandi capitoli” (Morris Kline), “grandi matematici” (Eric T. Bell), per  “grandi teoremi” (William Dunham). [ Si veda: Emilio Ambrisi, Matematica e storia per l’insegnamento in PdM n. 1/2005]