I pesci nello stagno

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I pesci nello stagno

“Un ittiologo voleva stimare il numero di pesci presenti in uno stagno butta quindi una rete con maglie di misura regolare e dopo aver recuperato

“Un ittiologo voleva stimare il numero di pesci presenti in
uno stagno butta quindi una rete con maglie di misura regolare e dopo
aver recuperato la rete vi trova 30 pesci; contrassegna ogni pesce
con un colore opportuno e li rigetta in acqua. Il giorno seguente,
usando la stessa rete, cattura 40 pesci e vide che due di questi
erano contrassegnati. Come calcola, approssimativamente, il numero
dei pesci dello stagno? ”

È un bel problema. Abbastanza  noto si presta anche ad attività e riflessioni didattiche molto valide. Così formulato si trova in Hugo Steinhaus Cento problemi di matematica elementare Boringhieri, 1987 È risolvibile usando gli strumenti dell’indagine statistica, in particolare il metodo della Cattura, Marchiatura e Ricattura.

Il metodo fu usato per la prima volta da Laplace nel 1802 per stimare la popolazione francese.

Nel corso degli anni è stato affinato e applicato prevalentemente a problemi di stima di popolazioni animali, sia terrestri che acquatici. Una sua versione, consolidata e affidabile, si deve a Johannes Petersen, che lo applica al  calcolo della popolazione di platesse e lo pubblica nel 1896: The Yearly Immigration of Young Plaice Into the Limfjord From the German Sea. Da allora il metodo è stato ampiamente usato per calcolare le popolazioni animali in un ambiente.

A partire dagli anni 50 ha avuto un ruolo importante anche nella medicina.

In particolare nell’epidemiologia, è stato usato spesso. Per calcolare, ad esempio, il numero di malati di diabete in una certa regione o nazione. Il metodo consiste nel catturare una piccola parte della popolazione che si vuole stimare; marcarla in modo che il marchio sia permanente per tutta la durata dell’indagine; rilasciare gli elementi marcati e successivamente, in una o più occasioni, ricatturare una piccola parte della popolazione e contare gli elementi marcati.

La versione più semplice del metodo è quella elaborata da Petersen che prevede solo una cattura, una marchiatura e
una ricattura. È quella utilizzata per la risoluzione del problema proposto.

Per applicare il metodo occorre innanzitutto che:

    • la popolazione oggetto dell’indagine sia una popolazione chiusa: non ci siano variazioni del numero della popolazione dovute a nascite, morti o migrazioni;
    • la marcatura deve essere efficiente e non invadente;
    • tutti i componenti della popolazione devono avere la medesima probabilità di essere pescati;
    • le pescate devono essere indipendenti.

Tornando al problema proposto:

nella prima cattura vengono pescati 30 pesci e tutti marchiati.  Quindi la probabilità di pescare un pesce marchiato nelle estrazioni successive è di 30N se con N s’indica la popolazione dei pesci nello stagno. Dopo la ricattura si avrà che 120 dei pesci pescati sono marchiati, quindi  30N=120 e da qui N=600. Questa è, per definizione, la stima di massima verosimiglianza della popolazione.

Ragioniamo in termini di probabilità.

Il caso è equivalente a un’urna contenente h palline bianche e n-h palline nere, dalla quale vengono estratte r palline bianche senza reinserimento . Indichiamo con N il numero di pesci nello stagno, n2 i pesci pescati la seconda volta, n1 i pesci marchiati dopo la prima pesca. E siano k i pesci marchiati pescati la seconda volta.

La probabilità di estrarre k pesci marchiati la seconda volta è data dalla distribuzione ipergeometrica, che è uguale a:

Fissati e la probabilità massima di pescare k pesci marchiati nella ricattura è massima quando  N=n1 n2k, avremo quindi , e

Ponendo N=500 avremo:  , e

Come nel caso precedente la probabilità maggiore è di trovare 2 pesci marchiati nella rete, solo è leggermente inferiore rispetto a N=600.

Ponendo N=2500 avremo che la probabilità di ripescare almeno due pesci marchiati

mentre nel caso di N=250 la probabilità ripescarne non più di due è 

In base a quanto detto finora è ragionevole pensare che nello stagno il numero di pesci presenti vari tra 2500 e 250 e fra tutti questi valori quello che rende la probabilità massima che vengano ricatturati 2 pesci è 600.

 

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