Il corso fondamentale delle matematiche

Dal continuo/discreto alla teoria delle catastrofi: il corso fondamentale delle matematiche tracciato da René Thom

René Thom (1923-2002)

“Il corso fondamentale delle matematiche”: l’espressione è di René Thom (1923-2002).

È troppo bella per non ricordarla. Troppo carica di significato per non parlarne. Ha pregnanza e salienza a sufficienza per evocare visioni e discorsi affascinanti e interminabili sulla matematica, la scienza e la pedagogia.

D’altronde Thom non è solo il teorico delle catastrofi, la medaglia Fields (1958) per il cobordismo, il matematico che si è professato scienziato naturale, l’appassionato didatta che lanciò al mondo della scuola l’interrogativo: matematica moderna, esiste? Thom è l’autore di scritti che segnano una letteratura matematica diversa, con uno stile matematico che valorizza le parole e arricchisce il lessico, impoverito e secco, della matematica. Thom persegue l’intelligibilità, anche se il compito gli è reso arduo da una matematica che è per lo più “difficile”. Spesso comunque si esprime in un modo che avrebbe fatto gioire perfino Giacomo Leopardi: la vera novità è nell’efficacia delle espressioni.

Quelle create e utilizzate da Thom sono efficaci.

Sono modi di dire che consentono quei “decolli semantici” che è lui stesso a teorizzare e a formalizzare anche nel linguaggio della geometria delle varietà differenziabili e dei germi di funzioni analitiche. E così per i termini pregnanza e salienza. Li ri-definisce a suo modo e li descrive matematicamente in termini di singolarità di funzioni.

Si dirà pregnante una forma esterna per un dato soggetto quando la percezione di tale forma suscita nel soggetto reazioni psicofisiologiche di grande portata. Un esempio: usualmente la forma della preda affascina l’animale predatore. Ecco, il cappio della predazione che dà luogo alla catastrofe: la cattura della preda. La mente è il predatore e l’espressione, con l’insieme dei suoi significati, è la preda. Sovviene allora, a chi scrive, anche il verso di Dante: «Poi piovve dentro a l’alta fantasia» e come Italo Calvino lo usi per introdurre la sua lezione Visibilità.

La salienza (il termine italiano è un calco sul francese saillance o sull’inglese salience) è legata invece al carattere brusco, discontinuo dello stimolo come nell’esempio del cane di Pavlov che è istruito ad assaporare la carne dopo lo squillo di un campanello. La salienza sta nel fatto che il cane inizia a salivare appena sente il campanello, anche in assenza della carne.

Il corso delineato da Thom è come un fiume che avanzando scava e modella il suo alveo.

Origina nell’aritmetica (teoria dei numeri naturali N): da N l’esigenza di simmetrizzare l’addizione conduce agli interi relativi Z. Quindi, per simmetrizzare anche la moltiplicazione, si perviene ai numeri razionali Q. Su questa base si sviluppa la teoria dei numeri e buona parte dell’algebra classica.

Fin dalla costruzione dei razionali, però, tutto sembra sollecitare la definizione dei reali. È la storia ben nota: fu la geometria, con la dimostrazione pitagorica dell’incommensurabilità della diagonale e del lato del quadrato, a imporre di fatto l’introduzione degli irrazionali. La conquista del continuo e la misura dello spazio esigevano questa estensione.

Il corso fondamentale passa quindi per la comparsa del calcolo differenziale che, nella sua fase eroica, è accompagnato dalla problematica concernente l’infinitesimale e dilaga subito dopo nella teoria delle funzioni di una variabile reale. È poi la pluridimensionalità degli spazi che obbliga a introdurre le funzioni di più variabili, le derivate parziali, la nozione di differenziale, la formula di Taylor.

Ed è questo un altro punto singolare nella morfologia dell’alveo.

Qui il corso delle matematiche è come un torrente in piena che va a defluire nel bacino della dialettica locale/globale.

«Si può dire senza esitazione – afferma Thom – che i principali teoremi dell’analisi – ridotti alla fine in un numero abbastanza piccolo, forse solo cinque o sei – hanno a che fare con la problematica locale/globale».

Uno dei più significativi è dato proprio dalla formula di Taylor che per i polinomi ne stabilisce la profonda solidarietà. Infatti, conoscere un polinomio in un punto equivale a conoscerlo dappertutto.

Al variare di b la parabola scorre lungo y ma stabile nella forma

Un risultato che immediatamente si propaga all’altro: un polinomio – di grado maggiore di 2 (c’è qui il teorema di Marston Morse) – non è affatto stabile. Perturbarlo in un punto significa modificarlo, cambiarne forma e tipo topologico. La propagazione porta al ramo della stabilità/instabilità basilare nella matematica delle catastrofi di Thom. I polinomi sono oggetti per i quali la conoscenza locale implica quella globale. Ciò che nel caso generale delle funzioni analitiche, infinitamente derivabili, può valere a meno di un resto. Cioè due funzioni possono coincidere localmente mantenendosi globalmente ben distinte. La formula di Taylor si pone dunque come regolatore del passaggio dal locale al globale. È, invece, il teorema delle funzioni implicite o di Ulisse Dini a consentire il passaggio inverso.  Dal globale al locale.

La dialettica locale/globale è pervasiva della matematica e del suo insegnamento.

Lo strutturalismo di Bourbaki e di Piaget, il programma di Erlangen di Felix Klein, le impostazioni assiomatiche che hanno ispirato l’insegnamento della geometria euclidea, sono tutte espressioni del globalismo nella pedagogia della matematica. Oggi, viceversa, il fare matematica valorizza le organizzazioni parziali del discorso matematico.

La via è dal locale al globale.

L’unità del discorso si ottiene per incollamento di “pezzi” nella trama concettuale dell’universo dei significati: storici, logici, applicativi.

Ritornando al corso fondamentale qui esso si divide grosso modo in due diramazioni: una va nella direzione degli spazi e dunque è di natura essenzialmente topologica, l’altra riguarda invece i morfismi tra spazi ed è dunque di spettanza dell’analisi.

“Dopo un periodo di divergenza, queste due correnti sono tornate in contatto in zone relativamente disgiunte […] Nella ramificazione spazio si sono inserite: topologia generale e algebrica, spazi fibrati, varietà differenziabili, topologia differenziale… La ramificazione “analisi” ha un ramo assai recente, quello dell’analisi differenziale; ma il ramo essenziale, più antico, passa per le funzioni analitiche, le funzioni speciali, gli spazi funzionali, l’analisi di Fourier, gli spazi vettoriali topologici, la teoria lineare delle equazioni alle derivate parziali…Piuttosto alla periferia si può riallacciare al ramo analisi anche la teoria della probabilità nata dall’esigenza di considerare modi stocastici di propagazione negli spazi”.

Più si va avanti seguendo la corrente  e più le diramazioni si fanno fitte come il delta di un fiume. Alcuni rami sono come vicoli ciechi. Lo è, ad esempio, il ramo del transfinito cantoriano malgrado all’inizio sembrava dovesse condurre a radiosi risultati, a qualcosa di simile a quello che David Hilbert chiamò il paradiso di Cantor.

In Triangolo di pensieri (Bollati Boringhieri, 2001) Alain Connes, André Lichnerowicz, Marcel Paul Schutzenberger, in sintonia con Thom, indicano ai ricercatori il lavoro da fare: trovare connessioni tra i diversi rivoli e il modo di riallacciarli alla corrente principale.

Thom per questo suo quadro o panorama delle matematiche ha trovato comodo utilizzare la metafora del fiume. Il corso non è il tronco, che è statico. Non è l’albero, che ha una morfologia molto più complessa e non è il palazzo, che ha una sua architettura come quella progettata da Bourbaki e che oggi non è più di moda.

Il corso implica lo scorrere. In funzione di che cosa?

Il tempo, lo spazio, l’intuizione, l’ordine: deduttivo, genetico, psicogenetico? Sono tutte variabili interessanti. Ma qui, per lo più secondarie. La scelta di Thom per la forma linguistica “il corso fondamentale” è che essa evoca sì, lo scorrere, ma presupponendo un’origine, una sorgente. Ecco: il corso delle matematiche origina nella zona della quantità/ qualità.

Ora la quantità si presenta in due forme molto differenti. La quantità discreta, cioè, di fatto, il numero naturale e la quantità continua, di cui offre abbastanza esempi la nozione intuitiva di grandezza fisica: una lunghezza, un’area, un peso, una forza, un’intensità di corrente elettrica.

Dalla sorgente sgorga dunque la coppia discreto/continuo.

Ed il corso è il prodotto della filiazione, della propagazione, del prolungamento di questa originaria opposizione concettuale. La scelta di Thom si rivela cioè strumentale al proposito di porre nel discreto/continuo l’aporia fondatrice delle matematiche. Se non la sola, la principale.

Non è estranea a questa scelta la consolidata tradizione pedagogica della costruzione del continuo a partire dal discreto.

In breve, dopo l’addizione tra due interi naturali p e q si definisce la sottrazione come operazione inversa: p-q ha senso solo se è p maggiore di q. Quando p è minore di q, si conferisce un senso all’espressione p-q introducendo nuovi numeri. I numeri negativi. Associati ai numeri naturali, questi numeri negativi formano un gruppo: il gruppo, abeliano, degli interi relativi. Si definisce poi sul dominio Z degli interi relativi la moltiplicazione m·p, distributiva rispetto all’addizione (proprietà la cui pregnanza pedagogica è posta in risalto nel quadro del “Teniers”).

La divisione p:q (q diverso da zero) viene definita come inversa della moltiplicazione e quando l’operazione è impossibile (p non è divisibile per q) s’introduce allora il numero razionale p/q come quoziente. In questo modo si trova definito il corpo Q dei numeri razionali (o frazioni), corpo totalmente ordinato dalla relazione “minore di”. Si passa allora da Q a R, corpo dei reali, mediante aggiunzione di sezioni di Dedekind o mediante completamento con successioni di Cauchy.

Si arriva quindi a considerare il continuo geometrico di dimensione 1, cioè la retta reale.

Tale è la costruzione classica, cioè ottocentesca, edificata principalmente da: Karl Weierstrass, Georg Cantor, Richard Dedekind. Ancor oggi è perfettamente adeguata. Ma non nasconde i suoi limiti.

Come negare al continuo la sua intuitiva immediatezza?

Come non riconoscergli un fondamento ontologico infinitamente più solido che le costruzioni iterative utilizzate per costruirlo? In qualche modo – è il parere di Thom – occorrerebbe restituire al continuo quella priorità ontologica che il costruttivismo dei matematici gli ha sottratto. L’unica difficoltà è che in quanto tale, in quanto continuo, non se ne può parlare.

Si tratta di una vera e propria entità ineffabile!

Bisogna farvi dei segni, distinguervi dei punti perché si possa costituire un discorso fondato. Come in un deserto o immensità di una distesa oceanica. Come muoversi?

Perché la scienza cominci, è necessario dotare il continuo di discontinuità.

È questa necessità che ha decretato  il successo della geometria analitica. Ed è questo cioè che si fa una volta assegnata la retta r. Su r si fissa un’origine O e, dunque, dove porre il punto 1. Ciò fatto è già la geometria affine che consente di discretizzare r. Di immergere cioè il numerabile nel continuo iterando il trasporto del segmento unitario. Allo stesso modo è sempre il teorema di Talete a consentire la divisione in parti del segmento.

Un procedimento iterativo che non sempre porta ad oggetti intuitivamente accettabili e rappresentabili. Cosa che invece capita per il paradosso eleatico di Achille e la tartaruga. Il segmento unitario si ricostituisce allora come limite delle successive divisioni.

Il paradosso, Aristotele [Fisica, 239b, 16-18] lo spiega così:

«questo intende provare che il più lento, correndo, non sarà mai sorpassato dal più veloce: infatti, necessariamente, l’inseguitore dovrebbe giungere prima là donde il fuggitivo è balzato in avanti, sicchè necessariamente il più lento conserva una certa precedenza».

Nella sostanza, l’espressione infinita

ha “somma” 1. Cioè la sua interpretazione intuitiva globale è il segmento [0, 1]. Achille raggiunge la tartaruga!

Tutto questo ha quindi a che fare con la problematica pedagogica.

Il corso fondamentale delle matematiche richiama automaticamente alla dinamicità dell’insegnamento e al suo indubbio porsi come percorso e sviluppo. Ma non vuole essere l’indicazione di una via regia come per Proclo fu l’ordine stabilito da Euclide con i suoi Elementi. In effetti, non ha alcuna pretesa di ergersi a struttura globale canonica sostrato di una linea d’insegnamento.  Anche perché è alla sorgente che è affetto  da quell’aporia fondatrice che ne è limite e ricchezza. E altrettanto accade nella pedagogia.

Infatti se è vero che la costruzione del continuo a partire dal discreto ha nell’insegnamento una tradizione consolidata è anche vero che la retta e l’immediatezza intuitiva del continuo sono presto messe a frutto già dalle prime esperienze nella scuola dell’infanzia. E a rafforzarle intervengono anche altre categorie pedagogicamente rilevanti. In particolare, la reversibilità e l’invarianza, generative dello stesso carattere operativo del fare matematica.

E c’è, in pedagogia, anche una chiara dualità tra locale/globale e discreto/continuo.

In definitiva, supposto di poter cogliere globalmente la visione panoramica del corso fondamentale delle matematiche dovrà necessariamente l’insegnamento tener conto delle sue discontinuità, dei suoi punti significativi, quelli posti alle diramazioni come alle confluenze. In effetti nell’insegnamento, come nell’analisi di Thom, sono le discontinuità che contano. Contano nella scienza e contano nella vita che non si svolge in uno spazio di uniformità.

Già dalla Bibbia si sa che c’è un tempo per…..e un tempo per….

E sono tutte discontinuità, singolarità. E tali sono le catastrofi di Thom: a partire dal battito del cuore, segnale di vita di ogni possibile “corso”, finchè non s’arresta.

S’innesta qui ad esemplificazione, il discorso antico dell’insegnamento della geometria razionale nella scuola secondaria di secondo grado. Da tempo si è riconosciuto che la finalità non può essere quella di far cogliere nella sua globalità il modello della sistemazione come se si trattasse di una realtà unica, assoluta, ontologica. La finalità deve risiedere piuttosto nel condurre alla costruzione di un tale modello. A dare ordine, connessione, struttura, significato a uno zibaldone di risultati, di idee, di configurazioni, di pensieri.  Non è superfluo a questo punto ricordare che il nocciolo della visione pedagogica che ha dato poi vita alle Indicazioni Nazionali era appunto questo. Le Indicazioni Nazionali l’hanno male interpretato. È però ben messo in evidenza nelle tavole di apprendimento del Teniers e di Mondrian.

Riferimenti:

René Thom: Stabilità strutturale e morfogenesi, Einaudi, 1979
Renè Thom: Modelli matematici della morfogenesi, Einaudi, 1985
Renè Thom: Quantità/Qualità e L’aporia fondatrice delle matematiche, Enciclopedia Einaudi, 1982
Emilio Ambrisi: La didattica della matematica oggi: dal discreto al continuo, PdM 1/2017
Emilio Ambrisi: Il criterio di Gergonne-Hilbert può risolvere il giallo delle Indicazioni Nazionali?, PdM, 3/2016