Matematica Maturità 2026. La soluzione del Problema 2 della sessione straordinaria. Dal calcolo classico agli infinitesimi di Robinson: una traduzione matematica per costruire un ponte tra intuizione e rigore.
Premessa
Nella Giornata internazionale della traduzione \(2026\) del \(30\) settembre che per tema ha avuto la diversità linguistica e diritti linguistici, con sottinteso il potere di essere compresi, ho voluto riprendere la mia soluzione del Problema \(2\) della Maturità \(2026\) (Sessione Straordinaria) e riproporla alla maniera della Non Standard Analysis. Questo per offrire una visione dello svolgimento in contesti didattici differenti o inusuali che andrebbero conosciuti e compresi, presentandoli come traduzioni formali.
Per avere un confronto ravvicinato ogni passo della soluzione viene indicato con la lettera S per l’analisi standard o tradizionale ed è seguito da una N per la Neo Smart Analysis (NSA) ovvero la Non Standard Analysis “alla Robinson” come estensione dell’analisi coi numeri iperreali. Tradurre non è soltanto passare da una lingua all’altra, ma richiede anche di cambiare il paradigma interpretativo mantenendo intatta la sostanza concettuale. Ecco dunque una traduzione da un’Analisi Standard \(a\) una Non Standard come la NSA.
PROBLEMA 2
Si consideri la famiglia di funzioni \(f_a(x) = ax - \ln (a + x)\), con \(a \in \mathbb{R}\), e si indichi con \(g_a\) il grafico di \(f_a\).
a) Al variare del parametro \(a\), calcolare i limiti agli estremi del dominio e studiare la monotonia e la concavità di \(f_a\).
b) Stabilire per quali valori del parametro il grafico \(g_a\) possiede un punto stazionario e determinare il valore di \(a\) affinché tale punto abbia ordinata massima.
c) Verificare che, se \(a = 1, g_a\) è tangente all'asse delle ascisse. Studiare la funzione \(f_1\) e tracciare il suo grafico \(g_1\).
d) Determinare l'area della regione piana limitata compresa tra l'asse delle ascisse\(, g_1\) e la retta di equazione \(x = 2\).
a) Limiti, monotonia e concavità in Analisi Non Standard
S. Il dominio della funzione \(f_a(x) = ax - \ln (a + x)\) richiede che l'argomento del logaritmo sia strettamente positivo: \(a + x > 0\) ovvero \(x > -a\). Il dominio è quindi \(D = (-a, +\infty )\).
N. Il dominio standard \(D = (-a, +\infty )\) si estende al campo dei numeri iperreali \({}^{*}\mathbb{R}\) dove \(x > -a\).
S. Limiti agli estremi del dominio:
Per \(x \to -a+\): \(\lim_{x \to -a+} [ax - \ln (a + x)] = -a^2 - (-\infty ) = +\infty\)
Per \(x \to +\infty\): \(\lim_{x \to +\infty } [ax - \ln (a + x)]\) il risultato dipende dal segno di \(a\): se \(a > 0\): il termine lineare \(ax\) prevale sul logaritmo, quindi il limite è \(+\infty\). Se \(a = 0\): la funzione diventa \(f_0(x) = -\ln (x)\), il cui limite per \(x \to +\infty\) è \(-\infty\). Se \(a < 0\): entrambi i termini tendono \(a -\infty\), quindi il limite è \(-\infty\). N. Comportamento per \(x \to -a+\): Sia \(e>0\) un numero iperreale infinitesimo positivo \(\operatorname{st}(e)=0\). Valutiamo la funzione nel punto iperreale \(-a+e\): \(f_a(-a+e) = a(-a+e) - \ln (a-a+e) = -a^2 + a\cdot e - \ln (e)\).
Essendo e un infinitesimo positivo, il suo logaritmo \(\ln (e)\) è un iperreale infinito negativo. Di conseguenza, il termine \(-\ln (e)\) è un infinito positivo. Aggiungendo \(a\) questo la costante standard \(-a^2\) e l'infinitesimo \(a\cdot e\), il risultato finale rimane un infinito positivo. La funzione ha dunque limite standard \(+\infty\).
N. Comportamento per \(x \to +\infty\): Sia \(H\) un numero iperreale infinito positivo. Valutiamo \(f_a(H) = aH- \ln (a+H)\).
Se \(a > 0\): \(aH\) è un infinito positivo e \(\ln (a+H)\) è \(a\) sua volta un infinito positivo. Tuttavia, l'ordine di grandezza di \(H\) supera strettamente quello del suo logaritmo (ovvero il quoziente \(H/\ln (H)\) è un infinito positivo). Il termine lineare domina, rendendo \(f_a(H)\) un infinito positivo \((+\infty )\).
Se \(a = 0\): si ha \(f_0(H) = -\ln (H)\), che è banalmente un infinito negativo \((-\infty )\).
Se \(a < 0\): \(aH\) è un infinito negativo e \(-\ln (a+H)\) è un infinito negativo. La somma di due infiniti negativi è un infinito negativo \((-\infty )\).
S. Monotonia (Derivata prima): \(f_a'(x) = a - 1/(a + x) = {a(a + x) - 1}/(a + x) = (a^2 + ax - 1)/(a + x)\) Poiché nel dominio \((a + x) > 0\), il segno della derivata prima dipende solo dal numeratore \(ax + a^2 - 1\).
Se \(a \leq 0\): per ogni \(x > -a\) si ha \(x + a > 0\). Moltiplicando per \(a\)(quantità non positiva), otteniamo \(a(x + a) \leq 0\). Sottraendo \(1\), il numeratore è strettamente negativo. Pertanto \(f_a'(x) < 0\) e la funzione è strettamente decrescente in tutto il suo dominio. Se \(a > 0\): ponendo \(f_a'(x) \geq 0\) si ricava \(ax \geq 1 - a^2\) ossia \(x \geq (1 - a^2)/a\).
La funzione decresce in \((-a, (1 - a^2)/a)\) e cresce in \(((1 - a^2)/a, +\infty )\). Presenta un minimo relativo \((e\) assoluto) in \(x = (1 - a^2)/a\).
Concavità (Derivata seconda): \(f_a''(x) = d/dx ( a - (a + x)^{-1}) = (a + x)^{-2} = 1/(a + x)^2\)
Per ogni \(x\) in \((-a, +\infty )\), si ha \(f_a''(x) > 0\). La funzione volge la concavità verso l'alto (è strettamente convessa) per qualsiasi valore di \(a\) in \(\mathbb{R}\).
N. Monotonia e Concavità (tramite il Principio di Trasferimento):
Per il Principio di Trasferimento, le regole di derivazione standard si applicano ai quozienti differenziali costruiti con incrementi infinitesimi non nulli \(\Delta x\):
\(f_a'(x) = \operatorname{st} ({f_a(x+\Delta x) - f_a(x)}/\Delta x) = {a^2 + ax - 1}/{a + x}\)
\[f_a'(x)=\operatorname{st}\left(\frac{f_a(x+\Delta x)-f_a(x)}{\Delta x}\right)=\frac{a^2+ax-1}{a+x}\] Il segno della pendenza dipende unicamente dal numeratore standard \(N(x) = ax + a^2 - 1\).
Se \(a \leq 0\): per ogni \(x > -a\) si ha \(a(x + a) \leq 0\), per cui \(N(x) < 0\). Poiché il derivato standard è negativo, per ogni incremento infinitesimo positivo \(\Delta x\), si avrà \(f_a(x + \Delta x) < f_a(x)\). La funzione è strettamente decrescente. Mentre se \(a > 0\): imponendo \(f_a'(x) = 0\) si ottiene l'unico punto critico in \(x = {1 - a^2}/a\), che rappresenta un minimo assoluto.
Applicando iterativamente l'operatore di parte standard al rapporto incrementale della derivata prima, otteniamo la derivata seconda: \(f_a''(x) = \operatorname{st} ({f_a'(x+\Delta x) - f_a'(x)} / {\Delta x}) = 1/(a + x)^2\)
\[f_a''(x)=\operatorname{st}\left(\frac{f_a'(x+\Delta x)-f_a'(x)}{\Delta x}\right)=\frac{1}{(a+x)^2}\] Essendo \((a + x)^2 > 0\) per ogni valore nel dominio, la parte standard è sempre strettamente positiva. La variazione infinitesima della pendenza è costantemente crescente, confermando una concavità sempre rivolta verso l'alto (convessa).
b) Punti stazionari e ordinata massima
S. Un punto stazionario richiede che \(f_a'(x) = 0\).
Dal punto precedente sappiamo che questo si verifica in \(x = (1 - a^2)/a\). Affinché questo punto appartenga al dominio della funzione, deve essere: \((1 - a^2)/a > -a\) quindi \((1 - a^2 + a^2)/a > 0\) per cui \(1/a > 0\)
Il grafico \(g_a\) ha un punto stazionario solo per i valori del parametro \(a > 0\).
Calcoliamo l'ordinata di questo punto di minimo in funzione di \(a\):
\(y(a) = f_a((1-a^2)/a) = a\cdot (1-a^2)/a-\ln (a+(1-a^2)/a) = 1-a^2-\ln ((a^2+1-a^2)/a) = 1-a^2-\ln (1/a) = 1-a^2+\ln (a)\)
Per trovare il valore di \(a\) che massimizza l'ordinata, deriviamo \(y(a)\) rispetto ad \(a\)(con \(a>0\)): \(y'(a) = -2\)a\(+1/a = (1-2\)a\(^2)/a\). Ponendo \(y'(a) = 0\) otteniamo \(1 - 2\)a\(^2 = 0\) da cui \(a^2 = 1/2\).
L'unica soluzione accettabile (con \(a > 0\)) è \(a = \sqrt{2}/2\).
Essendo \(y'(a) > 0\) per \(0 < a < \sqrt{2}/2 e y'(a) < 0\) per \(a > \sqrt{2}/2\), questo è un punto di massimo.
N. Un punto stazionario in analisi non standard corrisponde \(a\) un valore di \(x\) per cui l'incremento infinitesimo della funzione \(\Delta y\) ha una pendenza la cui parte standard è nulla: \(\operatorname{st}({\Delta y} / {\Delta x}) = 0\). Questo avviene per \(x = {1 - a^2}/a\). Affinché il punto appartenga al dominio, deve valere \({1 - a^2}/a > -a\), che si semplifica in \(1/a > 0\). Dunque, esiste un punto stazionario solo per \(a > 0\).
Valutando l'ordinata di questo punto stazionario in funzione del parametro \(a\), otteniamo \(y(a) = 1 - a^2 + \ln (a)\).
Per massimizzare questa ordinata, calcoliamo la variazione standard rispetto al parametro \(a\):
\[y'(a)=\operatorname{st}\left(\frac{y(a+\Delta a)-y(a)}{\Delta a}\right)=\frac{1-2a^2}{a}\] \(y'(a) = \operatorname{st}({y(a+\Delta a) - y(a)} / {\Delta a}) = {1 - 2\)a\(^2}/a\) e ponendo \(y'(a) = 0\) troviamo \(a^2 = 1/2\), la cui unica radice accettabile nel dominio è \(a = \sqrt{2}/2\). Essendo la derivata positiva prima di questo valore e negativa dopo, l'ordinata raggiunge qui il suo massimo globale.
c) Studio di \(f_1\) e verifica della tangenza (micro-analisi in \(x=0\))
S. Sostituendo \(a = 1\), la funzione diventa \(f_1(x) = x - \ln (1 + x)\).
Affinché \(g_1\) sia tangente all'asse delle ascisse, il sistema \(f_1(x) = 0 e f_1'(x) = 0\) deve avere soluzione (deve esistere un punto dell'asse \(x\) in cui la pendenza è nulla). \(f_1'(x) = 1 - 1/(1 + x) = x/(1 + x)\) e posto \(f_1'(x) = 0\), ricaviamo \(x = 0\). Sostituendo nell'espressione della funzione: \(f_1(0) = 0 - \ln (1 + 0) = 0\). Il punto \((0,0)\) è sul grafico ed ha derivata nulla. Pertanto\(, g_1\) è tangente all'asse delle ascisse nell'origine.
Studio di \(f_1\): Dominio: \(x > -1\), ovvero \((-1, +\infty )\).
Limiti: \(\lim_{x \to -1+} f_1(x) = +\infty\)(asintoto verticale \(x = -1\)). \(\lim_{x \to +\infty } f_1(x) = +\infty\). Non vi sono asintoti obliqui.
Segno e Monotonia: Poiché il minimo assoluto in \(x = 0\) è \(0\), la funzione è sempre non negativa: \(f_1(x) \geq 0\) per ogni \(x\) in \((-1, +\infty )\), è decrescente per \(x\) in \((-1, 0)\) e crescente per \(x\) in \((0, +\infty )\).
Concavità: \(f_1''(x) = 1/(1+x)^2 > 0\). Sempre convessa.
N. Fissando \(a = 1\), la curva diviene \(f_1(x) = x - \ln (1 + x)\).
Per dimostrare la tangenza all'asse delle ascisse nell'origine senza ricorrere ai limiti, analizziamo il comportamento della funzione in un intorno infinitesimo dell'origine. Sia \(\operatorname{st}(d) = 0\) con d infinitesimo non nullo.
Trasferendo lo sviluppo di Taylor ai numeri iperreali, possiamo esprimere il logaritmo come \(\ln (1 + d) = d - d^2/2 + e \cdot d^2\)(dove \(\operatorname{st}(e) = 0\)). Sostituendo nella funzione: \(f_1(d) = d - ( d - d^2/2 + e \cdot d^2 ) = d^2/2 - e \cdot d^2\)
La pendenza infinitesima della secante passante per l'origine \((0,0)\) e il punto iperreale \((d, f_1(d))\) è:
\({f_1(d) - f_1(0)} / d = {d^2/2 - e \cdot d^2} / d = d/2 - e \cdot d\)
Applicando l'operatore di parte standard per trovare la pendenza esatta della tangente: \(\operatorname{st}(d/2-e\cdot d)= 0-0 = 0\)
Essendo \(f_1(0) = 0\) e la sua pendenza standard nulla, la curva è tangente all'asse delle ascisse. Inoltre, essendo \(f_1''(x) > 0\), l'origine è un minimo globale, confermando che \(f_1(x)\) è non negativa per ogni \(x\) nel dominio \((-1, +\infty )\).
d) Calcolo dell'area tramite somme iperfinite
S. Dobbiamo determinare l'area della regione compresa tra \(f_1(x)\), l'asse \(x\)(cioè \(y=0)\), e la retta \(x = 2\).
Poiché \(f_1(x) \geq 0\) nell'intervallo \([0, 2]\), l'area è data dall\('\int\) definito: A \(= \int_0^2 (x - \ln (1 + x)) dx\)
\[A=\int_0^2\bigl(x-\ln(1+x)\bigr)\,dx\] Si può calcolare dividendo in due integrali. L\('\int\) di \(x\) è \(x^2/2\). Per il logaritmo, si procede per parti \(\int 1\cdot \ln (1 + x) dx = (1 + x)\cdot \ln (1 + x) - \int (1 + x)/(1 + x) dx = (1 + x)\cdot \ln (1 + x) - x\)
\[\int 1\ln(1+x)\,dx=(1+x)\ln(1+x)-\int\frac{1+x}{1+x}\,dx\] Unendo le primitive: \(\int (x - \ln (1 + x)) dx = x^2/2 - (1 + x)\cdot \ln (1 + x) + x + c\)
Valutato tra \(0 e 2\): A \(= [ x^2/2 - (1 + x)\cdot \ln (1 + x) + x ]_0^2\)
Sostituendo l'estremo superiore \((x = 2)\): \((4/2 - 3\cdot \ln (3) + 2) = 4 - 3\cdot \ln (3)\)
Sostituendo l'estremo inferiore \((x = 0)\): \((0 - 1\cdot \ln (1) + 0) = 0\)
L'area della regione piana limitata è esattamente \(4 - 3\cdot \ln (3)\).
N. In Analisi Non Standard, l'area definita non è calcolata tramite un limite, ma come la parte standard di una somma rettangolare iperfinita.
Sia N un iperintero infinito positivo, che divide l'intervallo \([0, 2]\) in incrementi infinitesimi \(\Delta x = 2/N\). I nodi della partizione sono \(x_k = k \cdot \Delta x\).
\[A=\operatorname{st}\left(\sum_{k=1}^{N}f_1(x_k)\Delta x\right)=\operatorname{st}\left(\sum_{k=1}^{N}(x_k-\ln(1+x_k))\Delta x\right)\] L'area esatta A è la parte standard della somma iperfinita dell'area di questi N rettangoli:
\[A=\operatorname{st}\left(\sum_{k=1}^{N}f_1(x_k)\Delta x\right)\] A \(= \operatorname{st} (\sum_{k=1}^N f_1(x_k) \cdot \Delta x ) = \operatorname{st} (\sum_{k=1}^N (x_k - \ln (1 + x_k)) \cdot \Delta x)\)
Per il Principio di Trasferimento (che estende il Teorema Fondamentale del Calcolo agli iperreali), il calcolo di questa somma infinita equivale esattamente alla valutazione della primitiva standard agli estremi macroscopici \(0 e 2\): A \(= [ x^2/2 - (1 + x)\cdot \ln (1 + x) + x ]_0^2\)
Valutando all'estremo superiore otteniamo \(4/2 - 3\cdot \ln (3) + 2 = 4 - 3\cdot \ln (3)\). All'estremo inferiore, tutti i termini si annullano. L'area della regione piana risulta esattamente pari \(a 4 - 3\cdot \ln (3)\).
Vantaggi e svantaggi di un approccio standard rispetto all’altro
L'approccio classico (basato sui limiti di Weierstrass) e quello non standard (costruito sugli iperreali di Robinson) offrono due lenti diverse per guardare agli stessi oggetti matematici, ciascuno con specifici vantaggi concettuali e operativi.
L'Approccio Classico (Analisi Standard)
• Linguaggio universale: È lo standard de facto, compreso ovunque e consolidato in tutti i curricula scolastici e accademici. L'enorme pregio è che non richiede di estendere il campo dei numeri reali, costruendo tutto il rigore del calcolo differenziale utilizzando solo numeri finiti e disuguaglianze precise.
• Allenamento deduttivo: La manipolazione formale basata sulla logica \(e-d\) abitua \(a\) gestire le approssimazioni e le maggiorazioni, competenze che si rivelano indispensabili se poi studi l’analisi numerica e l'informatica teorica.
• Astrazione contro-intuitiva (Contro): Il concetto dinamico del "tendere \(a\)" \((\to )\), unito all'uso massiccio dei quantificatori, è spesso freddo e ostico. Traduce un'intuizione geometrica originariamente molto semplice in una formalizzazione logica complessa, creando uno scoglio cognitivo notevole all’inizio.
• Pesantezza notazionale (Contro): L'obbligo di trascinare sintatticamente l'operatore di limite in ogni singolo passaggio appesantisce lo sviluppo algebrico, rischiando di far perdere di vista il nucleo concettuale del problema.
L'Approccio Non Standard (Analisi Infinitesimale)
• Intuitività geometrica: Riporta in vita la visione originale e geniale di Leibniz e Fermat. Manipolare
direttamente un incremento infinitesimo \(\operatorname{st}(d)=0\) per trovare la pendenza di una curva, o visualizzare un \(\int\) realmente come una somma infinita di rettangoli "sottilissimi", aderisce in maniera naturale al modo in cui la mente umana sembra immagini il continuo spaziale.
• Algebrizzazione dei limiti: Trasforma il calcolo dei limiti e delle derivate in una pura espressione algebrica. Impostato l'infinitesimo si eseguono normali semplificazioni e infine si "pulisce" il risultato con l'operatore di parte standard \((\operatorname{st})\), aggirando le classiche forme indeterminate con grande agilità meccanica.
• Fondamenta logiche inaccessibili (Contro): Il paradosso dell'analisi non standard è che, per rendere elementare il calcolo, richiede fondamenta logiche estremamente avanzate. Giustificare l'esistenza del campo degli iperreali \({}^{*}\mathbb{R}\) e il Principio di Trasferimento richiede strumenti come gli ultrafiltri, decisamente fuori dalla portata di una trattazione pre-universitaria.
• Rischio di applicazione cieca (Contro): Senza una salda comprensione delle regole di trasferimento, manipolare infiniti e infinitesimi rischia di trasformarsi in una specie di ricettario magico dove le quantità vengono aggiunte o cancellate senza un reale controllo del rigore sottostante.
L'analisi non standard (Non Standard Analysis) si rivela dunque un motore formidabile per l'esplorazione, la scoperta e visualizzazione intuitiva dei risultati, mentre l'impianto classico rimane insostituibile per strutturare il rigore dimostrativo.
Introdurre il calcolo in modo euristico scavalca la barriera dell'astrazione pura e aggancia immediatamente l'immaginazione geometrica dei ragazzi. Il salto logico richiesto dalla definizione formale con epsilon e delta spesso paralizza la comprensione, trasformando l'analisi in un freddo gioco sintattico prima ancora che se ne afferri il reale significato.
Lasciar manipolare un incremento infinitesimo \(\operatorname{st}(d)=0\), ovvero \(d \approx 0\), come se fosse una quantità algebrica concreta restituisce invece l'approccio originario di Leibniz, che è sorprendentemente vicino \(a\) come la mente umana percepisce in modo naturale lo spazio continuo. Funziona come un'impalcatura didattica temporanea: fornisce allo studente la fiducia di saper calcolare e "vedere" una pendenza infinitesima o un'area, per poi giustificare solo in un secondo momento il bisogno di "ripulire" l'equazione con la struttura rigorosa dei limiti di Weierstrass.
Diversi risultati che sono stati presentati in molte occasioni sembrano interessanti anche per la possibilità di anticipare i concetti di derivata e \(\int\) per ottenere una migliore integrazione con il programma di Fisica.
L'analisi alla maniera NSA è cosa fattibilissima nei licei e con vantaggi da non disprezzare. Purtroppo, sebbene nel tempo si siano riscontrati risultati convincenti sul piano didattico, l'idea che la NSA sia una qualche forma di stravaganza è nonostante tutto sopravvissuta ed è tuttora molto diffusa per cui la NSA continua ad essere vista o pensata come l'analisi del futuro.
Proprio come nella traduzione linguistica l'obiettivo non è sostituire una lingua con un'altra, ma arricchire la comprensione del messaggio originale attraverso nuove sfumature, così l'approccio Non Standard non mira \(a\) soppiantare il calcolo classico, ma ad affiancarlo. Saper leggere un limite come una quantità statica (Weierstrass) e al tempo stesso "vederlo" come il comportamento di un infinitesimo dinamico (Robinson) dota gli studenti di un bilinguismo matematico prezioso. Permette loro di scavalcare il muro dell'astrazione iniziale e ritrovare quell'intuizione genuina che guidò i padri del calcolo differenziale. Tradurre la matematica, in fondo, significa renderla più umana e quindi accessibile, restituendo agli studenti il potere e il diritto di comprenderla pienamente.
Conclusione: una via "ingenua" e una traduzione condivisa
Per tutto il decennio passato con tutto un gruppo via via più numeroso di insegnanti abbiamo strutturato una varietà di riflessioni scritte e proposte didattiche per realizzare questo ponte tra l'intuizione non standard e il rigore classico, offrendo una prospettiva davvero preziosa e utile per rinnovare e alleggerire l'insegnamento dell'Analisi. Abbiamo avuto l'occasione, durante le lezioni in classe e negli incontri di formazione per docenti, di testare "sul campo" un passaggio graduale dagli infinitesimi informali al limite classico. E osservato la reazione diretta degli studenti e degli insegnanti esposti all’introduzione di concetti come la parte standard e l'aritmetica degli infinitesimi, in modo puramente euristico e informale. In base \(a\) queste esperienze passate, credo che potrebbe offrire una scorciatoia utile per sbloccare l'intuizione degli studenti prima di calarli nel formalismo dei limiti.
Le sperimentazioni condotte nel decennio passato ci hanno dimostrato che l'uso euristico degli infinitesimi funziona come uno straordinario "rompighiaccio" cognitivo. Non stiamo annacquando il rigore, ma stiamo costruendo un'impalcatura che sostiene lo studente fino \(a\) quando non è pronto \(a\) muoversi nel terreno astratto dei limiti classici. La diversità linguistica, che celebriamo in questa giornata, dovrebbe esistere anche in matematica: limitarsi \(a\) un solo approccio formale significa impoverire la disciplina. Il mio invito, rivolto ai colleghi docenti, è quello di avere il coraggio di esplorare queste "traduzioni" alternative. Mostriamo ai nostri ragazzi che la matematica non è un monolito di regole inaccessibili, ma una lingua viva, dove intuizione geometrica e rigore logico possono, e devono, poter dialogare.
La matematica, al pari delle lingue naturali, vive di sfumature, dialetti e traduzioni. Passare dall'Analisi Standard alla Non Standard significa cambiare lente \(d'\)ingrandimento: dove la prima offre una geometria ineccepibile, la seconda restituisce il calore dell'intuizione spaziale originaria. Educare al "bilinguismo" matematico, introducendo gli infinitesimi come ponte naturale verso il calcolo formale dei limiti, è un atto di libertà didattica. Significa onorare il diritto dello studente \(a\) comprendere prima di eseguire, dimostrando che anche nel rigore dei numeri \(c'\)è spazio per la flessibilità, l'esplorazione e l'immaginazione.
In questa Giornata internazionale della traduzione, riflettere sul "bilinguismo" matematico mi ha riportato inevitabilmente \(a\) un ricordo sempre vivo e \(a\) me molto caro: la collaborazione \(a\) quattro mani con mia figlia Lucia per la traduzione italiana del testo di Jaap Ponstein, NON STANDARD ANALYSIS. Una via ingenua agli infinitesimi. Trattazione non ortodossa della NSA pubblicato da Aracne editrice nel settembre \(2017\).
Fu un progetto in cui i nostri mondi si incontrarono in una sintesi perfetta. Da un lato la mia prospettiva di matematico, da sempre interessato alla formazione dei docenti e all'impiego di approfondimento didattico dell'Analisi non standard. Dall'altro, la competenza e la sensibilità di Lucia Casiraghi, laureata in Linguistica teorica e applicata, oggi docente universitaria negli USA.
Il volume originale di Jaap Ponstein, pubblicato postumo nel \(2001\), nasceva dal fascino che Ponstein nutriva per la possibilità di trattare quantità infinitamente piccole e grandi come veri e propri numeri. Il suo obiettivo era chiedersi come introdurre gli infinitesimi in maniera semplice, costruendo al contempo una teoria matematicamente solida e completa. Tradurre quel testo insieme \(a\) Lucia non fu solo un passaggio dall'inglese all'italiano, ma un autentico esercizio di traduzione concettuale per preservare l'immediatezza di quel pensiero. Quell'esperienza condivisa incarna esattamente lo spirito di questo mio articolo. Tradurre la matematica \(-\) passando dal rigore formale di Weierstrass all'intuizione visiva di Robinson \(-\) significa abbattere delle barriere. Significa rivendicare il "diritto di essere compresi", offrendo agli studenti una via forse più "ingenua", ma straordinariamente potente, che si può percorrere per sbloccare l'intuizione e fare propria la bellezza dell'analisi infinita.
Riferimenti
matmedia.it/sessione-straordinaria-il-problema-2
matmedia.it/wp-content/uploads/2026/09/PROBLEMA-2_-straordinaria-2026.pdf
matematica.it/tomasi/matls/2026straord/problema2_straord_2026.pdf
maddmaths.simai.eu/divulgazione/eventi/dagli-aerei-supersonici-alla-logica-matematica-
en.wikipedia.org/wiki/Transfer_principle
en.wikipedia.org/wiki/Nonstandard_analysis
mathworld.wolfram.com/TransferPrinciple.html
terrytao.wordpress.com/2010/11/27/nonstandard-analysis-as-a-completion-of-standard-analysis
ncatlab.org/nlab/show/nonstandard+analysis
sas.rochester.edu/mlc/people/faculty/casiraghi-lucia
libreriauniversitaria.it/nonstandard-analysis-via-ingenua-infinitesimi/libro
multilingual.com/international-translation-day-2026-the-power-being-understood
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