Il problema degli uccelli e delle torri

Uno dei più noti problemi del Liber Abaci: il problema degli uccelli e delle due torri. Le varie soluzioni a confronto.

De duabus avibus

I due uccelli in un sol colpo volano verso il centro di una fontana posta tra le due torri, seguendo traiettorie rettilinee con ugual volo (con la stessa velocità) e arrivano nello stesso istante; dunque, le due traiettorie hanno uguale lunghezza e sono le ipotenuse dei triangoli rettangoli aventi, ciascuno, l’altezza di una torre e la rispettiva distanza dalla fonte  come cateti. [Si veda anche: Leonardo Fibonacci in classe]

Fibonacci fornisce per lo stesso problema due formulazioni (sostanzialmente uguali), una nel Cap. XII e l’altra nel Cap. XV.

La prima versione è risolta con un metodo numerico, la seconda con un metodo geometrico.  Per determinare la lunghezza dei due percorsi applica il teorema di Pitagora:

«…sicut in geometria aperte monstratur,  multiplicatio longitudinis cuiuslibet illarum turrium in se ipsa addita cum mutiplicatione spatii soli, quod est ab ipsa turri usque  ad centrum fontis, in se ipsum,  faciunt quantum multiplicatio recte linee in se ipsa, que ascendit ad centro fontis é usque ad altitudinem ipsius turris…».

Per i solutori “moderni” il metodo più semplice è senz’altro quello algebrico, mediante un sistema nelle due incognite x e y, che rappresentano, rispettivamente, la distanza della fonte dalla torre più alta e quella dalla torre più bassa.

Fibonacci, per la sua soluzione numerica non può che utilizzare le proprietà delle proporzioni, con l’ausilio del procedimento euristico della “falsa posizione”.

Questo è il ragionamento, che riportiamo mantenendo le stesse notazioni della soluzione algebrica:

si suppone dapprima che la distanza  dalla fonte più alta sia uguale a 10 passi  (e quella dalla torre più bassa uguale a 40 passi).

In tal caso i percorsi dei due  uccelli avrebbero differente lunghezza:

La soluzione geometrica

La  soluzione geometrica non è, invece, molto diversa da quella  di un eventuale  solutore dei nostri giorni.

Con riferimento alla Figura1 ( rielaborazione di quella del Liber Abaci), il segmento gd  e il segmento ab rappresentano le altezze delle torri.

La fonte si trova nel punto di incontro z tra il segmento bd e l’asse del segmento ag.

Per determinare le distanze dz e zb si congiungono  i punti medi dei lati ag e db  e si determina la lunghezza del segmento ef  come semisomma delle lunghezze di gd e  ab  (  (30 +40)/2 = 35 passi).

Tracciando dal punto e la parallela a bd, si  costruiscono, considerandone le intersezioni con le rette gd  e ab, due triangoli rettangoli  i cui cateti  hanno lunghezza 5 passi e 25 passi.  Essendo  il  triangolo efz   simile a ciascuno di essi,  si può determinare la lunghezza del segmento fz = (35·5)/25 = 7 passi.

Pertanto, dz =32 passi e  zb = 18 passi.

Generalizzazione del problema

Siano e le altezze delle due torri  ( a < b ), la loro distanza. La fonte si trova nel punto Z, intersezione dell’asse del segmento  CD con il segmento AB. (Figura2)

La pendenza della retta CD, rispetto alla direzione orizzontale, è uguale allo  scostamento della retta MZ rispetto alla verticale. Affinché il problema ammetta soluzione, il punto Z deve cadere all’interno del segmento AB.

Indicato con N il punto medio del segmento AB, essendo tra di loro simili  i triangoli  CDP  e NMZ,  si  ha:

La soluzione algebrica