Il teorema dei numeri primi

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Il teorema dei numeri primi

K. Devlin in ' Dove va la matematica' ( edizione Boringhieri ) afferma: «La distribuzione apparentemente caotica dei numeri primi nasconde un certo

K. Devlin in ‘ Dove va la matematica‘ ( edizione Boringhieri ) afferma:

«La distribuzione apparentemente caotica dei numeri primi nasconde un certo ordine, dato dal comportamento della funzione p(n) che esprime il numero di primi minori o uguali a n. Nel suo libro Essai sur la Théorie des Nombres del 1798, Legendre osservò che p(n) è approssimativamente uguale al numero

Non c’è niente di particolare nel numero 1,08366: Legendre ottenne questo risultato esaminando le tavole dei numeri primi fino a 400000 e scelse questo numero semplicemente per dare un’approssimazione il più precisa possibile.

Più o meno nello stesso periodo in cui Legendre lavorava al suo libro, il quattordicenne Gauss cominciava a studiare la funzione p(n). Egli osservò ( anche se non rese pubblico il fatto fino al 1863) che p(n) è approssimata dal numero e anche dal numero La funzione Li(n) è detta logaritmo integrale. La seguente tabella fornisce i diversi valori delle funzioni approssimanti per valori di n fino a 100 milioni; risulta che Li(n) è un’approssimazione di p(n) di gran lunga migliore delle altre due.

n p(n) Li(n)
1000 168 172 145 178
10000 1229 1231 1086 1246
100000 9592 9588 8686 9630
1000000 78498 78534 72382 78628
10000000 664579 665138 620420 664918
100000000 5761455 5769341 5428681 5762209

 

Nel 1896 Charles de la Vallée Poussin mostrò che questo è vero per tutti i valori di n a partire da un dato punto.

In effetti, e questa è una digressione interessante, dalla tabella sembra che Li(n), sia lievemente maggiore di p(n), e se si dovesse proseguire nella tabulazione è probabile che si continuerebbe a mostrare la stessa cosa. Sarebbe da scettici non concludere che Li(n) approssima p(n) per eccesso. Ma se si arrivasse a tale conclusione si sarebbe in errore, poiché nel 1914 il matematico inglese J. E. Littlewood ( un collega di G. H. Hardy) dimostrò che la differenza Li(n) – p(n) passa da un valore positivo a uno negativo infinite volte all’aumentare di n negli interi positivi. Così, ci saranno certamente valori di n per i quali Li(n) è minore di p(n), e S. Skewes mostrò nel 1955 che un tale n dovrà apparire prima del cosiddetto numero di Skewes:

(approssimativamente ),

un valore incomprensibilmente grande. Molto più piccolo, ma ancora ben al di fuori della nostra immaginazione, è il numero nel 1966 Lehman mostrò che esso sostituisce il numero di Skewes, nel senso che Li(n) – p(n) cambierà segno per qualche valore inferiore a quel numero. Più piccolo ancora è il numero e nel 1986 Hermann J. J. te Riele dimostrò che un cambiamento di segno avverrà per qualche n al di sotto di questo limite. Ma questi sono ancora numeri estremamente grandi, e ciò ha portato a concludere che è possibile che non si arrivi mai a scoprire un numero n per il quale Li(n) sia effettivamente minore di p(n) ( quel che è certo è che una ricerca al calcolatore fatta fino a un miliardo non è approdata a nulla).

Torniamo ora all’argomento principale. Nel 1896 i francesi J. Hadamard e C. Poussin, indipendentemente, riuscirono a dimostrare formalmente ciò che l’evidenza suggeriva: al crescere di n, il valore di si avvicina sempre più a p(n), approssimandolo con un qualunque grado di precisione richiesta, per n abbastanza grande. Ne consegue che anche Li(n) diventa arbitrariamente vicino a p(n) al crescere di n. Questo famoso risultato, che mostra una volta per tutte che i numeri primi appaiono secondo un modello matematico definito, è noto come teorema dei numeri primi.

E’ da notare tuttavia che tale modello implica la nozione di infinito e i concetti di analisi. Il lavoro di entrambi i matematici era scaturito da un importante saggio di otto pagine, pubblicato dal tedesco Bernhard Riemann nel 1859, dal titolo Sul numero di primi minori di una grandezza data. In questo scritto, l’unico di Riemann sulla teoria dei numeri, egli suggerì alcune linee di ricerca che ancora oggi risultano estremamente produttive. Si potrebbe addirittura affermare che la pubblicazione di questo scritto ha segnato l’inizio di tutta la teoria analitica dei numeri, nella quale le tecniche dell’analisi sono applicate a problemi relativi ai numeri naturali.»

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