L’Algebra nel XVIII secolo. Dall’integrazione delle funzioni razionali al teorema fondamentale dell’algebra fino alle soglie dell’Algebra moderna.
La storia dei principali trattati di Algebra [VEDI] è anche la storia del suo sviluppo e del suo insegnamento. In effetti è la documentazione più fedele che se ne possa dare e con il vantaggio di non essere alla portata dei pochi specialisti.
I secoli XVI e XVII sono per antonomasia i secoli dell’Algebra.
Dalla seconda metà del XVII secolo però qualcosa comincia a cambiare negli interessi dei matematici. Una notevole funzione attrattiva l’assolvono due grandi invenzioni: la Geometria analitica, altrimenti detta Geometria delle coordinate, inventata da Cartesio (1637) e da Fermat, e il Calcolo infinitesimale inventato da Newton e da Leibniz (1684). L’attenzione dei matematici è tutta presa da queste e dalle novità che vi introducono Barrow, Cavalieri, Fermat, Galilei, Pascal e altri.
Per l’intero XVIII secolo a dominare sono dunque equazioni differenziali ed equazioni alle derivate parziali, teoria delle serie e dell’integrazione.
Sono questi gli strumenti di cui ha bisogno l’applicazione del Calcolo infinitesimale ai problemi di geometria, di meccanica, e d’astronomia che costituiscono il nuovo campo d’interesse in cui si muovono i Bernoulli e Eulero, d’Alembert, Lagrange, Laplace. Tutto ciò rende l’Algebra subordinata all’Analisi ma allo stesso tempo propedeutica ad essa. L’Algebra è la matematica di base necessaria alla soluzione dei problemi della realtà fisica ed è questo che traspare dai manuali che progressivamente affinano gli obiettivi didattici arricchendosi di definizioni, esempi e problemi.
In tutti questi cambiamenti dovuti sia al fervore prodotto dalle ricerche e dalle scoperte scientifiche sia dall’esigenza della sistemazione didattica dei concetti base dell’algebra, e dell’algebra applicata alla geometria, c’è comunque un problema del calcolo integrale che si presenta particolarmente ostico e riporta d’attualità la risolubilità delle equazioni algebriche.
È il problema dell’integrazione delle frazioni razionali P(x)/Q(x).
È cioè la possibilità di poter esprimere il denominatore come prodotto di fattori lineari e quadratici a coefficienti reali. Leibniz aveva escluso tale possibilità e così altri, mentre Eulero l’aveva ammessa senza dimostrarla. Nella sua essenza il problema della fattorizzazione di un polinomio a coefficienti reali conduce al problema di dimostrare che ogni polinomio di questo tipo possiede almeno una radice reale o complessa.
La dimostrazione di questo teorema divenne perciò un obiettivo importante.
Jean-Baptiste Le Rond d’Alembert fu il matematico che vi spese più energie e che per primo arrivò a darne una dimostrazione. Sebbene questa dimostrazione fosse oggetto di numerosi rilievi è proprio in omaggio a questo grande impegno del matematico francese se ancor oggi il teorema è noto come teorema di d’Alembert.
La prima dimostrazione corretta del teorema è dovuta a Carl Friedrich Gauss .
Egli dimostrò che ogni polinomio di grado n qualsiasi può essere espresso come prodotto di fattori lineari e quadrati a coefficienti reali in una pubblicazione del 1799 dal titolo: Demonstratio nova theorematis omenem Functionem Algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolve posse*.
La dimostrazione di Gauss non è solo corretta ma ha anche una grande originalità che inaugura una stagione nuova nel campo del rigore matematico. Infatti il metodo che egli adottò consisteva non nel calcolare una radice ma nel dimostrarne l’esistenza. Gauss ritornò, cosa insolita per il princeps mathematicorum, su questa dimostrazione del 1799 anche negli anni successivi rivedendola più volte.
Sull’esempio di Gauss altri matematici continuarono ad occuparsi del teorema.
Anzi, con molta probabilità non esiste un altro teorema che abbia attirato così grande attenzione sia per trovarne una dimostrazione che per trovarne altre dimostrazioni. In un articolo del Periodico di matematiche del 1924, Amedeo Agostini pur senza elencarle tutte ma raggruppandole in ragione delle tecniche utilizzate, contava un centinaio di dimostrazioni diverse del teorema. A distanza di un secolo le dimostrazioni e le tecniche dimostrative sono certamente aumentate. È come se ciascuno volesse porre un suo sigillo sul teorema fondamentale dell’Algebra.
Va rilevato che nello stesso anno 1799, Paolo Ruffini pubblica la Teoria Generale delle equazioni in cui si dimostra impossibile la soluzione algebraica delle equazioni generali di grado superiore al quarto. Il contributo di Ruffini e quelli precedenti di Lagrange apriranno [VEDI] la strada ad Abel e Galois per arrivare così alla soglia della teoria dei gruppi pietra angolare dell’Algebra moderna.
L’importanza del teorema fondamentale, e quanto stesse a cuore ai matematici, non è solo nella costante ricerca di nuove dimostrazioni ma anche nel fatto che per molto tempo è stata una delle conoscenze richieste agli esami di concorso a cattedre per l’insegnamento della matematica e fisica. Era, ad esempio, una delle domande preferite da Gaetano Scorza, presidente della commissione d’esame a metà degli anni Trenta del secolo scorso. Oggi non è più così e ai candidati ai concorsi a posti d’insegnante difficilmente potrebbero essere chiesto di dare una dimostrazione del teorema di d’Alembert il cui enunciato è il seguente:
Se f(x) = xn+a1xn-1+a2xn-2+…. + an-1x+an=0 è un’equazione polinomiale nell’incognita x i cui coefficienti a1, a2, … an-1, an sono numeri complessi, allora esiste un numero complesso α tale che f(α) = 0.
ovviamente la definizione tiene conto che i numeri reali sono un sottoinsieme dell’insieme dei numeri complessi*.
Una conseguenza immediata del teorema fondamentale è il seguente:
L’equazione polinomiale f(x) = xn+a1xn-1+a2xn-2+…. + an-1x+an=0 ha esattamente n radici complesse.
Un teorema quest’ultimo che fu il francese Albert Girard ad enunciare per primo senza però dimostrarlo.
Infine, per quanto riguarda l’integrazione delle funzioni razionali P(x)/Q(x) si riporta il seguente esempio dove Q(x) è esprimibile come prodotto di due fattori quadratici:
NOTE
*La pubblicazione è del 1799, ma la dimostrazione Gauss pare l’avesse ottenuta già due anni prima quando aveva appena vent’anni. Questo unito agli altri risultati che si conoscono, fa giustamente scrivere a Eric T. Bell: «La storia della matematica non può registrare nulla che si avvicini alla precocità di Gauss bambino».
**Si deve sempre a Gauss il nome di «numero complesso» attribuito a quei numeri che nella loro storia erano stati chiamati: fittizi, impossibili, immaginari, sofistici, ecc,..
***A raccontarlo è il candidato Angelo Fadini: all’orale del concorso, G. Scorza gli chiese la dimostrazione di d’Alembert del teorema fondamentale dell’algebra. Fadini rispose che non ricordava la dimostrazione di d’Alembert ma quella data da Cauchy e la illustrò con piena soddisfazione del presidente.
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