In classe con i numeri primi

Lavoriamo di più con i numeri primi. Dieci questioni interessanti per ragionare di matematica sfruttando quel che già si sa e anche un “nuovo” teorema  per capire che la matematica non è senza storia.

Salvador Dalì, 1963. Dal Periodico di Matematiche 3/2009

Il lavoro in classe può contemplare, ad un certo punto, di avere sott’occhi i numeri 5, 11, 17. Sono tutti e tre primi e distanziati di 6. Quindi tre numeri primi in progressione aritmetica di ragione 6. Ai tre però si possono aggiungere anche 23 e 29. E basta: 35 no, perché non è primo.

I numeri primi 5, 11, 17, 23 , 29 sono cinque numeri primi in progressione aritmetica di ragione 6.

Proposte: si possono trovare altri esempi di sequenze di numeri primi che siano spaziati tra loro in modo uniforme? Ovvero siano in progressione aritmetica di ragione d, con d > 0? Ad esempio, di ragione 1 o 2, 3, 4,…..? E se ne possono trovare catene lunghe 4 o 6 o 7 o più, numeri primi? Come fare?

Forse non sarà difficile rintracciare in N la coppia 2 e 3, entrambi primi e distanziati di 1. E ugualmente non difficile sarà rendersi conto che è l’unica possibile, essendo +1 , legato al concetto di successore, nell’insieme N dei naturali, e 2 l’unico numero primo ad essere pari.

L’attività di ricerca può essere decisamente fruttuosa.

Ciascuno può condurla in modo autonomo. Ciascuno può trovare la sua “scoperta” matematica, eventualmente aiutandosi con il computer come strumento di calcolo, ma anche come strumento per ricercare in rete notizie e prove. Trovare altri esempi. Ad esempio la progressione con sei primi: 7, 37, 67, 97, 127, 157 (187 no: è 11·17).

Ulteriori stimoli si possono ricevere dal sapere che finora la catena più lunga di primi in progressione che sia stata trovata ha solo 26 termini.

La discussione collegiale in classe potrà risultare molto coinvolgente. Essere l’occasione per enunciare il teorema:

Per ogni intero k > 0, esiste una progressione aritmetica di k numeri primi.

Ben Green

Forse risalterà subito che il teorema dice che progressioni siffatte esistono, ma non dice come trovarle.

La questione comunque ha un’altra valenza, molto significativa per chi apprende la matematica. Il teorema enunciato è detto di Green e Tao. E quel che è più rilevante è un teorema “recente”*. Ben Green e Terence Tao l’hanno dimostrato nel 2004. Il teorema ha solo sedici anni: un’inezia al confronto della maggior parte dei risultati che si studiano a scuola! Un’occasione dunque da non perdere: la possibilità di presentare un teorema nuovo della matematica formulabile in modo semplice e comprensibile. Un’occasione per rendersi conto che la percezione abituale di chi si è formato a contatto con una matematica presentata in forma pretenziosamente a-storica, a-temporale, senza storia, è falsa. La conferma che anche la matematica ha, nella perennità dei suoi risultati,  una vita dinamica, di crescita, collegata a ciò che nasce, si sviluppa e si trasforma.

I numeri primi hanno ispirato montagne di ricerche da parte dei matematici.

Dal fantastico efficace crivello di Eratostene ai lavori di Fermat, di Leibniz, di Eulero,  dei giovani Ben Green, nato nel 1977, attualmente docente a Oxford e Terence Chi-Shen Tao, nato nel 1975 ad Adelaide, vincitore nel 2006 della medaglia Fields. I matematici non si sono risparmiati nel frequentarli e amarli trovando per loro anche un ruolo decisivo nella creazione e nella violazione di codici segreti. Eppure a scuola se ne parla poco. Quasi assenti.

Ecco 10 questioni e un antico meraviglioso teorema da dimostrare, tra i più belli di tutta la matematica.

1. Dimostriamo che se p è un numero primo, allora p² + p non è un numero primo.
2. Vogliamo una sequenza di numeri interi m, m + 1, m + 2 che siano tutti numeri primi. Dimostriamo che è un desiderio impossibile da esaudire.
3. Se k è un numero primo maggiore di 2, allora k² + 1 non è un numero primo. Come possiamo dimostrarlo?
4. Quanti esempi possiamo fornire di numeri della forma b (b + 1) + 1 che sono primi? Ce ne sono infiniti? Perché?
5. Il celebre teorema dei numeri primi, dovuto a Jacques Solomon Hadamard ( lo zio maestro di Laurent Schwartz) e Charles Jean Étienne Gustave Nicolas Baron de la Vallée Poussin, afferma che il numero di numeri primi minori o uguali a N è approssimativamente N / ln N. Quindi il numero di numeri primi inferiore o uguale a 1.000.000 è di circa 1.000.000 / ln 1.000.000 ≈ 72382. Questo è decisamente un meraviglioso risultato. Quanti numeri primi ci sono da 1 a 1000? Quanti ce ne sono minori o uguali a 10.000? In che modo queste informazioni si adattano alla previsione fornita dal Teorema dei numeri primi? Per aiutare le nostre ricerche possiamo usare un computer; in particolare se questo fa piacere agli studenti.
6. Una congettura che è stata avanzata e studiata è che un numero intero con tutte le cifre 1 sia un numero primo. Ebbene, 1 non è un numero primo per definizione. Ma 11 è primo. Certamente 111 non è primo. Che ne dite di 1111 o 11111? Ragioniamoci! Può essere conveniente utilizzare il computer? Qual è il numero primo più grande con tutte le cifre 1 che riusciamo a trovare?
7. È vero che la differenza di due numeri primi non è mai un numero primo?
8. È vero che per n=0,1,2,3,4,….la formula n²+n+41 fornisce tutti numeri primi? Se non è vero, quanti ne fornisce?
9. Esaminiamo l’espressione n²+n+11. L’espressione è generatrice di numeri primi? Possiamo trovare altre espressioni?
10. Per provare che n è un numero primo è sufficiente mostrare che n non è divisibile per alcun primo p≤√n. Può essere l’enunciato di un teorema?

Teorema molto antico. Ha circa 2300 anni. Risale ad Euclide** : Esistono infiniti numeri primi. Lo dimostriamo?

Terence Chi-Shen Tao

Altre osservazioni

La lista delle questioni proposte è ovviamente solo una selezione di quelle ammissibili a un livello di base. A partire da esse si può fare matematica estendendo progressivamente il raggio d’azione delle conoscenze e della capacità di muoversi in autonomia di ragionamento. Una incursione possibile è anche nella reversibilità delle operazioni, nella bidirezionalità su cui più volte si è insistito come suggerimento didattico. Qui si ha l’opportunità di far notare che la moltiplicazione è una operazione facile in un verso, più difficile da fare nel verso opposto. Fattorizzare un numero, spezzarlo nel prodotto dei suoi fattori primi, richiede certamente più tempo che fare l’inverso. Al riguardo si può consultare  Problemi classici dell’antichità e la risolubilità effettiva.

*L’aggettivo “recente” e il suo uso in matematica stimolano alcuni ricordi personali. Il suo uso sollevò critiche in una conferenza a Napoli. Il relatore era Bruno Rizzi, allora ordinario a Napoli e presidente della Mathesis. Parlava di numeri, frazioni egizie e di alcuni risultati. Ne citò uno che definì recente. Non l’avesse mai fatto! Si sentì, con un sonoro sbuffo: «recente? Ma se ha trent’anni»! L’osservazione esternata in modo stizzito proveniva da Mario Curzio, noto algebrista e decano dell’istituto Caccioppoli. Ne seguirono subito degli interventi tesi ad ammorbidire il tono dell’osservazione. Si convenne alla fine sul valore molto relativo che, generalmente, l’aggettivo “recente” ha quando è usato in matematica. Anche perché non sempre un risultato ha un atto di nascita ben certificato!

**Il teorema è dimostrato da Euclide nel libro IX, proposizione 20, degli Elementi. La richiesta di indicare dove Euclide dimostrasse il teorema figurava in uno dei quesiti per l’accesso ai corsi per l’abilitazione (TFA) del 2012. La domanda  risultò molto difficile.

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