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Insegnare il teorema di Pitagora

Il teorema di Pitagora nella lista dei 12 grandi teoremi della matematica e nella Galleria del Teniers. A scuola, la doppia dimostrazione che risale ad Euclide.

Il teorema di Pitagora è certamente il più illustre e vetusto di tutta la matematica. Vero oggi come tremila anni fa, è l’emblema di una matematica che non ha età; che è astorica e atemporale; che è cumulativa e accrescitiva e procede senza perdite: ciò che è provato vero una volta, lo rimane per sempre.

Spesso i bambini ne apprendono l’esistenza già nella scuola primaria, ma è negli anni successivi che imparano ad applicarlo alla soluzione di problemi concreti[1]. Di lì a poco, imparano anche a dimostrarlo razionalmente. Ciò solitamente avviene al primo anno della scuola secondaria di secondo grado, quando trattano l’equivalenza delle figure piane. Infatti, per un’antica consuetudine, consolidatasi a partire dalla fine del XIX secolo con la sistemazione didattica del capitolo della equiscomponibilità dei poligoni[2], gli studenti arrivano a dimostrare il teorema di Pitagora dopo aver dimostrato il seguente primo teorema di Euclide:

In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni l’ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull’ipotenusa.

La dimostrazione del teorema di Pitagora viene dunque di conseguenza e i due disegni lo mostrano in modo inequivocabile, anche dinamicamente.

 

 

 

 

 

 

 

L’itinerario didattico prosegue con la dimostrazione del secondo teorema di Euclide. Eccone l’enunciato:

In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’altezza relativa all’ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa.

Lo sviluppo della breve catena deduttiva completa dunque lo studio del capitolo dell’equivalenza. Nell’ordine:

    1. primo teorema di Euclide
    2. teorema di Pitagora
    3. secondo teorema di Euclide.

Non pensiamo di rivelare alcun segreto asserendo che quei due teoremi, primo e secondo, di Euclide sono un’invenzione postuma, frutto della riflessione didattica successiva. Tra i 465 teoremi degli Elementi non c’è né l’uno né l’altro di questi due teoremi, almeno in quelle formulazioni.

Per quanto lo riguarda, Euclide, nei suoi Elementi, il teorema di Pitagora l’ha dimostrato quasi subito.

L’ha fatto già nel libro I con la proposizione 47, dove adotta il termine uguaglianza sia per dire congruenza sia con il significato di equivalenza. La sua dimostrazione è più complicata, non è scissa in due parti com’è divenuto abituale fare.

È una dimostrazione però che ancora incanta per la sua efficacia e che Schopenhauer non esitò a definire un “brillante pezzo di perversità“, perché congegnata in un modo da farla apparire simile al funzionamento di una trappola per topi: la verità si rivela allo studente a conclusione della costruzione di linee di cui inizialmente non comprende il senso, ma alla fine spunta fuori con uno scatto improvviso, intrappolandolo. In questo, Schopenhauer non ha tutti i torti e non è il solo a pensarla così, visto che la figura, sintesi grafica della dimostrazione escogitata da Euclide, è divenuta essa stessa famosa tanto da essere etichettata in vari modi: la sedia della sposa, la coda del pavone, il mulino a vento.

Nel disegno i triangoli AFB e ACD sono uguali e hanno aree che sono rispettivamente la metà del quadrato AFGC e la metà del rettangolo di lati AD e DL. Lo stesso vale per i triangoli BKA e BCE, rispetto al quadrato di lato BC e al rettangolo LE e EB. Il teorema di Pitagora segue dalla unione dei due rettangoli.

Euclide però, nel libro VI, enuncia la seguente proposizione 8[1]:

Se in un triangolo rettangolo si conduce la perpendicolare dall’angolo retto sulla base, la stessa perpendicolare divide il triangolo in due triangoli simili a tutto quanto il triangolo e fra loro.

Con riferimento alla figura: i triangoli ABC, AHB, HBC sono simili. Dunque i lati omologhi sono in proporzione. Le relazioni che ne conseguono, espresse in termini di proporzionalità, di medi ed estremi di una proporzione, dimostrano il teorema di Pitagora.

La proposizione 8 porta dunque a riformulare il tutto in termini di similitudine e lo strumento dimostrativo diviene la proporzione. E così si fa ancora oggi. A ragione Attilio Frajese ha scritto che la proposizione 8 è un ponte che Euclide stabilisce tra uguaglianza di grandezza, cioè di area, e uguaglianza di forma, la similitudine, offrendo in tal modo un’ulteriore prova della sua abilità didattica. Egli mira in tal modo a rafforzare e a potenziare l’apprendimento dell’allievo.

Riprende il teorema di Pitagora per dimostrarlo per altra via e ancora ci tornerà su alla fine del libro VI, proposizione 31, per generalizzarlo andando oltre i quadrati e la congruenza: Nei triangoli rettangoli la figura descritta sul lato opposto all’angolo retto è uguale alla somma delle figure simili e similmente descritte sui lati che comprendono l’angolo retto.

Ma per i suoi allievi della Scuola di Alessandria aveva fatto di più: una volta dimostrato il teorema, con la proposizione successiva, la 48, che chiude il Libro I, dimostra che esso è reversibile, dimostra cioè che è vero anche il viceversa: un triangolo i cui lati soddisfano a² + b² = c² è necessariamente rettangolo. Secondo gli storici, Euclide fu il primo ad applicare questo metodo didattico della dimostrazione diretta e inversa.

Il Libro VI degli Elementi è il capitolo della similitudine e Euclide l’ha spostato in avanti perché richiede allievi più maturi e competenti; l’ha potuto sviluppare dopo che nel libro V ha trattato le proporzioni secondo la teoria messa a punto da Eudosso di Cnido.

Sono aspetti, questi, che rivelano quanto l’opera di Euclide sia un’organizzazione di contenuti a scopo didattico. Quei 465 teoremi, una volta scelti, sono stati ordinati con gradualità, dal più semplice al più difficile: si inizia con le definizioni e i postulati, poi i criteri di congruenza dei triangoli, l’uguaglianza di grandezza, le proporzioni e le figure simili, poi ancora i libri aritmetici, le grandezze incommensurabili e i numeri irrazionali, infine la geometria solida. Nel libro XII il metodo di esaustione e ultimo teorema, quattrocentosessanticinquesimo: i poliedri regolari sono solamente 5.

È noto che della vita di Euclide si sa poco o niente. Si raccontano solo un paio di episodi.

Uno di questi è la risposta: «In matematica non ci sono vie regie». Si dice che la diede al re che gli chiedeva di fargliela apprendere senza dover fare tutta quella trafila di enunciati e dimostrazioni. Contrariamente alla sua risposta, gli Elementi hanno avuto il ruolo di segnare la via regia per insegnare e apprendere la matematica, come se quell’ordine non fosse uscito dalla testa di Euclide, ma fosse imposto dalla natura stessa della matematica. Nella reazione a tale supposto ordine naturale c’è però l’atto di nascita della ricerca didattica in matematica.

il merito di Euclide è duplice: ha creato un ordine e allo stesso tempo ha dato origine agli studi e alle ricerche didattiche per opporvisi. Ha dato il via allo studio di alternative a un insegnamento che appariva, non senza ragioni, dogmatico e pieno di artifici, di separazione della geometria dall’aritmetica e di separazione della geometria piana da quella solida, di esagerata importanza attribuita allo strumento della proporzione. Prima ancora che dal punto di vista del rigore logico e della validità dei postulati e delle definizioni, le critiche agli Elementi cominciarono come libro di testo. Fu la ragione didattica a portare alla produzione di tante proposte alternative.

La questione apparve nella sua rilevanza con l’invenzione della stampa meccanica.

Nel 1455 Gutenberg con i suoi caratteri mobili stampò una copia della Bibbia. Dopo di allora, nelle tante officine grafiche sorte in ogni parte d’Europa le copie della Bibbia furono tante, stampate in tutte le lingue. Dopo la Bibbia uno dei libri più stampati fu quello di Euclide: gli Elementi. Questo non significa però che quello di Euclide sia stato anche il più letto.

Era un libro per una élite, sia nell’edizione che ne riproduceva il testo greco (la cui conoscenza era più limitata) sia nelle traduzioni in latino. Nell’uno e nell’altro caso non era più un libro di testo. Ma in effetti non lo era già dall’alto Medioevo, quando per insegnare la geometria si ricorreva ai compendi di Severino Boezio o di Isidoro di Siviglia, e così fu in seguito in misura sempre crescente. È probabile che dalla seconda metà del Settecento in poi nessuno più abbia letto gli Elementi in una edizione integrale. Per studiarla, i testi in uso erano quelli di Clairaut, di Legendre, di Simson e via dicendo.

Con Attilio Frajese potremmo ancora ripetere: Euclide questo sconosciuto! E sconosciuti sono altresì gli Elementi; lo sono come libro di testo e sconosciute sono le sue dimostrazioni originali come la sedia della sposa e il pons asinorum. Tutto ciò sembra contraddire il gran numero di followers, per riprendere l’espressione usata da Serenella Iacino, che Euclide ha tuttora fra i docenti della scuola italiana: amano Euclide non perché lo seguono nel prima e il dopo o nell’alternanza enunciato/dimostrazione, né nell’artificio di alcune dimostrazioni, lo amano perché amano la geometria sintetica, la costruzione e la dimostrazione, la catena delle deduzioni, talvolta senza la contaminazione dell’aritmetica e dell’algebra. Amano lo spirito di Euclide che rivive continuamente nella pura geometria come nell’arte di insegnare.

Tornando a Pitagora, il teorema che porta il suo nome è uno dei 12 Grandi Teoremi che William Dunham include nella sua lista di capolavori attorno ai quali ricostruisce la storia della matematica ed è anche uno dei 16 risultati di apprendimento presenti nella Galleria matematica del Teniers.

Del teorema si conoscono molte dimostrazioni. Lo stesso Dunham ricorda il libro del 1927, ripubblicato nel 1968, di Elisha Scott Loomis (1852-1940)  che è una raccolta di 367 dimostrazioni del Teorema di Pitagora. Nella Prefazione l’autore afferma, giustamente, che il numero delle dimostrazioni algebriche è illimitato così come quello delle dimostrazioni geometriche, ma che la proposizione non ammette una dimostrazione trigonometrica. Quest’ultima affermazione è stato provato però che non è vera. La più semplice ed immediata delle dimostrazioni trigonometriche è articolata nei seguenti 4 passi:

  1. Consideriamo un punto (1,θ).
  2. cosθ e senθ sono le lunghezze dei cateti di un triangolo rettangolo.
  3. Le loro proiezioni sull’ipotenusa hanno lunghezze cos2θ and sin2θ.
  4. Perciò, cos2θ+sin2θ=1. [VEDI]

 

 

NOTE

[1] Gli obiettivi di apprendimento al termine della classe terza della scuola secondaria di primo grado prescrivono:
«Conoscere il Teorema di Pitagora e le sue applicazioni in matematica e in situazioni concrete». Un modo di scrivere apparentemente rigoroso, nella sostanza invece abbastanza con quel separare gli ambiti: in matematica e in situazioni concrete.

[2] Una consuetudine molto italiana, adottata dalla maggior parte dei libri di testo.

[3] Gli Elementi di Euclide. Classici UTET, 1970

Autore

  • Emilio Ambrisi

    Laureato in matematica, docente, preside (dal 1983) e ispettore ministeriale (dal 1991). Dal 2004 al 2015 responsabile, per il settore della matematica e della fisica, della Struttura Tecnica del Ministero dell'Istruzione. Dal 1980 Segretario Nazionale della Mathesis e, successivamente, Vice-Presidente. Dal 2009 al 2019 Presidente Nazionale e direttore del Periodico di Matematiche.

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