Il calcolo della radice quadrata

Calcolo della radice quadrata ed algoritmi relativi. Intervento di Bruno Fadini – Seminario Matmedia 1999.

Premessa

Questo intervento è composto di due parti: la prima è una risposta al quesito sull’algoritmo di Tolomeo, la seconda presenta un noto algoritmo iterativo ed introduce un foglio elettronico allegato che lo realizza.

L’algoritmo di Tolomeo

Bruno Fadini (1937 – 2007)

Circa 20 anni fa, in una conferenza che tenni sui “nuovi programmi per la scuola media”, ebbi modo di apprezzare il fatto che l’algoritmo di Tolomeo fosse stato escluso dai programmi ed indicai i perché quella esclusione fosse al passo con i tempi e nulla toglieva né alla formazione né agli aspetti operativi della matematica. Mi sembra strano che ancora oggi, dopo una ulteriore sostanziale evoluzione della Società dell’informazione, l’algoritmo uscito dalla porta sia rientrato dalla finestra.
Ed ecco le motivazioni sulla non opportunità di far perdere agli allievi del tempo (addirittura 5 settimane, leggo!) per imparare qualcosa che non serve.

La matematica ha due componenti fondamentali: una formativa e l’altra algoritmica.

La prima è quella dei concetti e dell’astrazione, del processo logico e del linguaggio matematico, della metodologia del misurare e classificare e così via. La seconda è strumentale e consiste nella decomposizione di operazioni “complesse” in sequenze di operazioni più elementari, tali da consentire la soluzione pratica di un problema. La prima componente è la matematica del “cosa”, la seconda è quella del “come”.
Si può discutere se serva o non la matematica del “cosa” (secondo me, molto!) o piuttosto quali dosi di essa possano o debbano essere trasmesse ai bambini della scuola media (secondo me, una dose “controllata”), ma credo che su un fatto tutti debbano concordare: la matematica del “come”, in quanto strumentale, è utile nei limiti in cui essa costituisca effettivamente uno strumento pratico.
Ebbene, gli algoritmi della matematica del “come” sono strettamente condizionati dagli strumenti disponibili per la realizzazione delle operazioni elementari componenti l’algoritmo medesimo, quali pallottoliere, calcolo mnemonico, penna e carta, calcolatrice o calcolatore: un algoritmo ottimale per uno strumento potrebbe non esserlo per uno diverso.

L’avvento dell’informatica e la diffusione dei calcolatori ha reso obsoleti vecchi algoritmi (che conservano esclusivamente un valore storico) lanciandone o rilanciandone dei nuovi: basti pensare al prevalere negli ultimi decenni di algoritmi numerici a fronte di procedimenti classici “analitici”.

Invero, la rivoluzione della Società dell’informazione che viviamo (ci piaccia o non) è andata oltre.

Gli algoritmi (vecchi, nuovi o rinnovati) sono stati programmati nei calcolatori ed oggi spesso non si pone il problema di “impararli per applicarli”, ma al più quello di impararli per capire il processo programmato nelle macchine ed evitare di deificarle. Ovviamente, entro certi limiti: ritengo ancora utile imparare gli algoritmi “penna e carta” per la moltiplicazione o la divisione, almeno secondo i canoni di quest’ultimo secolo del secondo millennio….ma questo è un altro discorso. Il problema nuovo che si pone per il terzo millennio è un altro. Ma anche questo è un altro discorso: assumere come “primitive” le operazioni che le macchine sanno fare meglio di noi ed imparare a risolvere con esse problemi più complessi.
Ritornando alla radice quadrata, due sono i fatti incontrovertibili:

Nessuno, nella pratica professionale o giornaliera, usa l’algoritmo di Tolomeo per la radice quadrata.

Io, l’ultima volta l’ho usato nel 1948, in seconda media. Quando serve, si usa la macchinetta.

L’algoritmo di Tolomeo non è usato nei programmi per calcolatori, ove si preferisce ricorrere ad algoritmi iterativi. Siamo di fronte ad un caso classico di algoritmo obsoleto, al contrario di altri algoritmi aritmetici che, viceversa, sono evoluti o rinnovati.

Invero, Tolomeo (II sec.) è stato un grosso scienziato dell’epoca e l’algoritmo che prende il suo nome è stato un ottimo algoritmo per il calcolo penna e carta, ma questo strumento è andato in pensione. Ed è giusto che con esso vada in pensione anche l’algoritmo. Almeno per quanto riguarda la scuola media (non è esclusa infatti la sua utilità in quanto patrimonio specialistico).
Da quanto esposto non si evince alcuna utilità nell’insegnamento dell’algoritmo di Tolomeo se non quella di una informazione storica: ma per questa non servono certamente 5 settimane. L’unico effetto che si ottiene è quello di dare all’allievo il convincimento che la scuola insegna cose inutili (e non formative).

Algoritmo di Newton-Raphson

Se proprio si vuol dare agli allievi il senso di concretezza che puo’ derivare dal fatto di conoscere il “come” si calcola (a macchina) la radice quadrata, penso che si potrebbe dare agli allievi qualche elemento di un algoritmo iterativo.
Il concetto è forse difficile per gli allievi della scuola media e pertanto la mia è soltanto una proposta che sottopongo alla discussione. In ogni caso, come vedremo, un supporto informatico puo’ aiutare alla comprensione.
Come è noto [1], il metodo di Newton-Raphson o metodo delle tangenti serve per risolvere in generale una qualsiasi equazione f(x)=0 ed è applicabile al calcolo della radice quadrata, vista come soluzione dell’equazione x²-a=0. In particolare, assegnato un qualsiasi valore iniziale di tentativo x ed applicando iterativamente la formula x = (x+a/x)/2 l’algoritmo converge rapidamente alla radice quadrata di a. Una scelta opportuna del valore iniziale fa sì che con 5 o 6 iterazioni si raggiunga la precisione voluta.

Nell’allegato foglio elettronico Excel (foglio 1: iniz=a) è mostrato l’algoritmo in forma didattica dimostrativa.

La tecnica che nella realtà computazionale sviluppa l’algoritmo nel tempo, sostituendo nella stessa variabile di programma x via via il valore approssimato della radice, è qui riproposta nello spazio del foglio elettronico, facendo vedere in celle successive i diversi valori della radice ed, allineate con essi, le approssimazioni successive (mostrate secondo la notazione scientifica). Per semplicità, il valore iniziale è assunto uguale ad a, valore del quale si richiede la radice. E’ sufficiente che si immetta il valore a (il foglio è protetto: non si puo’ sbagliare) che il foglio calcola 35 successive iterazioni (in genere, ne servono molte di meno).
Sul secondo foglio della cartella Excel si calcola la medesima radice impostata nel primo foglio, ma avendone assegnato il numero di cifre di cui essa è composta (anche qui il foglio è protetto e si può soltanto immetter il numero si cifre). Il valore iniziale è così più prossimo alla radice ed il numero di iterazioni necessarie molto inferiore. L’uso di questo secondo foglio è per l’allievo utile in quanto lo stimola ad apprezzare l’ordine di grandezza del risultato.