Irrazionalità di √2 e metodo genetico

La scuola di Pitagora e la scoperta dell’irrazionalità di √2. La dimostrazione classica e il metodo genetico nell’insegnamento della matematica.

La dimostrazione classica dell’irrazionalità di √2 è, con molta probabilità, la più antica, importante e famosa di tutta la matematica. Ed è bella! Il riconoscimento è unanime; anzi, universale: è tra i più acclamati esempi di bellezza della matematica. [VEDI].

Come tale nessuna seria formazione culturale può prescindere dalla sua conoscenza. In ogni parte del mondo è tra gli obiettivi educativi primari dell’insegnamento della matematica. In Italia, a buon diritto, figura tra i sedici risultati di apprendimento del primo biennio della scuola secondaria di secondo grado collocati nella tavola MIUR-Mathesis del 2012.

La dimostrazione è stata per lungo tempo presentata come proposizione 117 del libro X degli Elementi di Euclide.

Gli storici però, dopo analisi e confronti, hanno convenuto nel ritenere tale proposizione non autentica, ma frutto dei commentatori e trascrittori di Euclide, i quali spesso hanno peccato nell’alterare il testo originale con cambiamenti e integrazioni, aggiungendo proposizioni e finanche altri due libri: il XIV e il XV. Le proposizioni autentiche del libro X sono 115 e si ritrovano nell’edizione degli Elementi curata da Attilio Frajese e Lamberto Maccioni. Una introduzione di Frajese aiuta a comprendere contenuti e finalità di questo libro degli irrazionali, che è il più lungo di tutta l’opera e anche il più difficile. Cosa riconosciuta da sempre. Leonardo Pisano nel Flos scrisse difficilior est antecedentium et quorumdam sequentium librorum Euclidis, mentre Simone Stevino definì il libro la croix des mathématiciens e più vicino a noi anche B. L. Van der Waerden ha affermato: Book X does not make easy reading.

A parte l’inclusione o meno negli Elementi di Euclide, la dimostrazione della irrazionalità di √2 è un risultato della scuola di Pitagora.

Furono i pitagorici ad affrontarla e a metterla a punto e ne rimasero così sconvolti da etichettare √2 come alogon: l’inesprimibile. Si capisce il lavoro di ricerca, ansioso e preoccupato, degli adepti della scuola. Nella loro concezione il numero, che era misura delle cose, se non era un intero, doveva necessariamente essere una frazione m/n con m e n primi fra loro. Non esserlo avrebbe rivelato un’imperfezione nella Natura e ne avrebbe rovinato l’armonia. Allora, come trovarla la frazione? L’investigatore pitagorico non aveva alternative: bisognava indagare là, nell’insieme delle frazioni equivalenti che avevano per denominatore un numero quadrato e per numeratore il suo doppio. Cominciare a scriverle e poi andare avanti.

I quadrati: 4, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, ……

Le frazioni: 2/1, 8/4, 32/16, 50/25, 72/36,……,288/144, ……

La seconda ha numeratore 8 che differisce da 9, che è un quadrato, solo per una unità, come anche 50/25, e 288/144 vicinissima a 289/144, ovvero il valore 17/12, che è l’eccellente approssimazione lodata da Teone di Smirne. Il pitagorico non può che essere fiducioso: andando avanti con numeri ancora più grandi, troverà anche al numeratore un quadrato, quindi la frazione esatta, non un’approssimazione. È convinto che sarà così. E si può anche immaginare l’impegno e la tensione di quel suo lavoro metodico, ripetitivo. Ecco allora la luce che gli si accende nella mente:  dall’operare con precisione e calcolo (con le difficoltà dei metodi di allora nel trattare numeri grandi) fa un salto all’immaginare o fingere di averlo trovato quel benedetto numeratore, numero pur esso quadrato e della forma 2n². E poi ragionarci sopra e … scoprire che non può essere! Per quanto andrà avanti, quel numeratore non lo troverà mai, non esiste! Quell’aver finto di averlo trovato ha costituito però l’arma vincente.

Il ricercatore pitagorico ha supposto vero qualcosa che è un assurdo, ma ha trovato la verità.

Con quella finzione ha fuso insieme algoritmico e dialettico e dato vita alla reductio ad absurdum, ovvero al ragionamento per assurdo, oggetto di tanta attenzione da parte di logici e filosofi. Oggetto che secondo Alain Badiou è fondamentale per illustrare la capacità intellettiva raggiunta dalla matematica del tempo e sarà sviluppato in particolare da Parmenide.  Uno strumento però che come punto d’avvio della dimostrazione non è facile da comprendere. Non se ne capisce il perché e da dove salti fuori. Perché ammettiamo per assurdo che…? La via genetica lo fa capire. Quell’ammettere l’assurdo viene spontaneo come naturale strategia risolutiva del problema.

È certamente uno degli esempi più calzanti del successo didattico del metodo genetico, che spesso è stato associato alla legge della biogenesi di Ernst Heinrich Haeckel (1834-1919), per cui l’ontogenesi ricapitola la filogenesi, vale a dire che la formazione dei concetti nell’individuo ripercorre la via seguita dallo sviluppo della sua specie. Un metodo che equivale in definitiva a porsi nella situazione d’origine, mettersi nei panni dei progenitori e ripercorrerne passi e tentativi.

Ecco la dimostrazione come viene sostanzialmente e universalmente riportata attualmente:

Supponiamo per assurdo che sia  con n≠0  e m e n primi tra loro. Ne consegue che m² = 2·n² . Ossia m²  è pari e pari è dunque m.

Posto allora m = 2·k , si ha 4·k² = 2·n² da cui 2·k² = n².

Dunque pari è anche n² e così lo è n contro l’ipotesi iniziale che m e n fossero primi tra loro.

È la dimostrazione che Hao Wang definisce  «semplice e pura» e G. H. Hardy considera come uno dei due soli esempi esistenti di una matematica bella e significativa (l’altro esempio è la dimostrazione di Euclide dell’infinità dei numeri primi).

Seymour Papert in Mindstorms. Bambini, Creatività, Computer, Emme Edizioni, 1984, ha dedicato alla dimostrazione dell’irrazionalità di √2 lo spazio di una indagine logica, psicologica, estetica.

A suo parere l’espressione m² = 2·n² produce un piacere inconscio simile a quello del gioco del cucù nei bambini. Essa è ottenuta per trasformazione di   ma l’attore principale non vi figura più, al suo posto sono le iniziali “comparse” m ed n ad assumere la funzione dominante, ad occupare la scena.

Ed è già in questa equazione, senza dover procedere oltre, passo dopo passo, che si coglie, in un processo analogo a quello delle istantanee fotografiche, il senso dell’impossibilità, dell’assurdo. E se questa pregnanza di m² = 2·n² può risultare ancora a livello inconscio negli iniziati, appare in tutta chiarezza, per il potere di decollo semantico di cui è dotata, in chi si familiarizza con il percepire e vedere globalmente un quadrato perfetto come prodotto di un numero pari di fattori: 6²=6·6=2·2·3·3; 33² = 33·33=3·3·11·11; … cosa che non è 2·n².

La raccomandazione di Papert, tecnicamente efficace ed adeguata al livello di primo ciclo d’istruzione, mostra anche quanto si perderebbe a livello di secondaria di secondo grado non sviluppando la dimostrazione. Sarebbe una perdita notevole di piacere e di emozioni. L’emozione di  ripercorrere i passi degli antenati e sentirsi in situazione d’origine, novelli autori  di una matematica profondamente umana. In definitiva la raccomandazione di Papert fa apprezzare ancor di più la bellezza e l’efficacia del metodo genetico nell’insegnamento. Cosa purtroppo non sempre possibile. Un esempio rapido: gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono uguali. È la proposizione quinta del libro primo degli Elementi. Dimostrarla al modo di Euclide non ha nulla a che fare con il metodo genetico, mira piuttosto a insegnare la particolare sistemazione logica che Euclide ha dato della geometria. Ma questo sarà l’oggetto di un prossimo intervento. [VEDI]